2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析4.3三角恒等变换 学案

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核心考点·精准研析

学生用书P63

考点一　三角函数式的化简求值 

1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈ ,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)

A.    B.    C.    D.

2.计算: =________. 

3.化简: =________.

世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,

即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α= .

2.

=

=

=

= =2 .

答案:2

3.原式=

=

= =1.

答案:1

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2.三角函数式化简的方法

弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,

根号中含有三角函数式时,一般需要升次.

【一题多解】

倍角降次解T3,原式=

= = = =1.

三角形法解T1,因为α∈ ,

所以sin α>0,cos α>0,

由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,

tan α= ,画直角三角形如图,

不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为 ,sin α= .

• 考点二　条件求值问题 

给角求值

【典例】(2019·沈阳四校联考)化简: - =________. 

【解析】 - = = = =4.

答案:4

给角求值如何求解?

提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.

(2)观察名,尽可能使函数统一名称.

(3)观察结构,利用公式,整体化简.

给值求值

【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,

则sin(α+β)=________. 

2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan = ,则tan α=________. 

【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+

2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2 β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,

所以sin(α+β)=- .

答案:-

2.因为tan =tan = ,

所以 = ,解得tan α= .

答案:

给值求值问题如何求解?

提示:(1)化简所求式子.

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).

(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

给值求角

【典例】(2020·长春模拟)已知sin α= ,sin(α-β)=- ,

α,β均为锐角,则角β值是________. 世纪金榜导学号 

【解析】因为α,β均为锐角,所以- <α-β< .

又sin(α-β)=- ,所以cos(α-β)= .

又sin α= ,所以cos α= ,sin β=sin[α-(α-β)]

=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

= × - × = ,所以β= .

答案:

如何选取合适的三角函数求角?

提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.

(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 ,选正、余弦

函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为 ,选正弦函数较好.

(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.

1.化简: =________. 

【解析】原式= = = .

答案:

2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2 +cos = ,且

sin B= ,则A+B= (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选C.因为sin2 +cos = ,

所以 + cos A- sin A= ,

即 - sin A= ,解得sin A= .

因为A为钝角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,

且B为钝角,

得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B

-sin Asin B= × - × = .又A,B都为钝角,即A,B∈ ,所以A+B∈(π,2π),所以A+B= .

3.(2020·佛山模拟)已知cos α= ,α∈(-π,0),则cos

= (　　)

A.-    B.-    C.    D.

【解析】选A.因为cos α= ,α∈(-π,0),

所以sin α=- =- ,

所以cos =cos αcos +sin αsin = × + × =- .

1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°= (　　)

A.    B.-    C.    D.-

【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+

cos215°)=sin215°-cos215°=-cos 30°=- .

2.定义运算 =ad-bc.若cos α= , = ,0<β<α< ,则β=________. 

【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= .

又0<β<α< ,所以0<α-β< ,所以cos(α-β)= = ,

而cos α= ,所以sin α= ,于是sin β=sin[α-(α-β)]=

sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)= × - × = ,

所以β= .

答案:

考点三　三角恒等变换的综合应用 

【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.              世纪金榜导学号

【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α< ,

则PM=1-sin α,PN=2-cos α,

则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-2 sin ,

因为0≤α< ,所以 ≤α+ < ,

故当α+ = ,即α= 时,周长C有最小值6-2 .

2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.

(2)求函数y= + 的值域.

【解题导思】

【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),

即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,

故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.

又θ∈[0,2π),因此θ= 或 .

(2)y= +

=sin2 +sin2

= +

=1- =1- cos .

因此,函数的值域是 .

1.三角函数应用题的处理方法

(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.

(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.

2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用

(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin +b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图象变换.

(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤

①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;

②利用公式T= (ω>0)求周期;

③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;

④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+b或

y=Acos(ωx+φ)+b的单调区间.

1.如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,求α为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.

【解析】因为∠SOP=α,所以PS=sin α,SR=2cos α,故S矩形PQRS=SR·PS

=2cos α·sin α=sin 2α,

故当α= 时,矩形的面积有最大值1.

2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.

【解析】(1)由已知得f(x)= -

= - cos 2x

= sin 2x- cos 2x= sin .

所以f(x)的最小正周期T= =π.

(2)由(1)知f(x)= sin .因为- ≤x≤ ,

所以- ≤2x- ≤ ,所以当2x- =- ,

即x=- 时,f(x)有最小值- ;

当2x- = ,即x= 时,f(x)有最大值 .所以f(x)在 上的最大值为 ,最小值为- .

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