2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析4.1　任意角和弧度制及任意角的三角函数 学案

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核心考点·精准研析

考点一　象限角与终边相同的角 

1.若角α是第二象限角,则是 (　　)

A.第一象限角    B.第二象限角

C.第一或第三象限角  D.第二或第四象限角

2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是              (　　)

A.  B.

C.  D.

3.下列各角中,与角330°的终边相同的是 (　　)

A.150°  B.-390°  C.510°  D.-150°

4.与-2 010°终边相同的最小正角是________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+

kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.

2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为{α|α=kπ-,k∈Z}.

3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.

4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°,

所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°.

答案:150°

1.表示区间角的三个步骤

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.

(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.

2.象限角的两种判断方法

(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.

(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.

3.求或nθ(n∈N*)所在象限的方法

(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.

(2)两边同除以n或乘以n.

(3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N*)所在的象限.

提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.

【秒杀绝招】　

结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.

排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.

考点二　弧度制、扇形的弧长及面积公式 

【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. 

2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________. 

【解题导思】

【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图.

由sin 60°=得r=4cm,

所以l=|α|·r=×4=π(cm).

答案:π

2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).

答案:2

　有关弧长及扇形面积问题的注意点

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.

【解析】设圆心角是θ,半径是r,则

解得(舍去)或

所以扇形的圆心角为 rad.

2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?

【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.

又S=θr2=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.

考点三　任意角三角函数的定义及应用 

三角函数符号判断

【典例】(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0,>0,则角θ是 (　　)

A.第一象限角  B.第二象限角

C.第三象限角  D.第四象限角

【解析】选D.由>0,得>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0,

所以sin θ<0,所以θ为第四象限角.

知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?

提示:知sin θ,cos θ,tan θ中两个的符号,可确定角所在象限.

比较大小、解不等式

【典例】1.设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则 (　　)

A.c>b>a     B.b>c>a

C.a>b>c     D.c>a>b

2.(2020·长春模拟)已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,则 (　　)

A.α>β     B.α<β

C.cos α>cos β  D.tan α>tan β

【解析】1.选A.b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,c=tan 35°>sin 35°=b,所以c>b>a.

2.选D.因为α,β是第一象限角,所以sin α>0,sin β>0,又sin α>sin β,所以sin2α>sin2β>0,所以1-cos2α>1-cos2β,所以cos2α<cos2β,所以> >0,

所以tan2α>tan2β,因为tan α>0,tan β>0,所以tan α>tan β.

三角函数式如何比较大小?

提示:对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.

运用定义求值

【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=________. 

2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α=________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan α===-1.

答案:-1

2.因为α是第二象限角,所以cos α=x<0,即x<0.又cos α=x=,解得x=-3,所以tan α==-.

答案:-

如何运用三角函数定义求三角函数值?

提示:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.

(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.

1.若tan α>0,则 (　　)

A.sin 2α>0  B.cos α>0

C.sin α>0  D.cos 2α>0

【解析】选A.因为tan α>0,所以α∈(k∈Z)是第一、三象限角.所以sin α,cos α都可正、可负,排除B,C.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知,A正确.取α=,则tan α=1>0,而cos 2α=0,所以D不正确.

2.若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sin θ=m,则cos θ的值为________. 

【解析】由已知r=,所以sin θ==m,因为m≠0,所以m=±,所以r==2,所以cos θ==-.

答案:-

3.函数y=lg sin x+的定义域为________. 

【解析】要使函数有意义,则有

即

解得(k∈Z),

所以2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.

所以函数的定义域为

.

答案:

1.已知点M在函数y=log3x的图象上,且角θ的终边所在的直线过点M,则tan θ=              (　　)

A.-   B.±   C.-3   D.±3

【解析】选C.因为点M在函数y=log3x的图象上,所以a=log3=-1,即M,所以tan θ==-3.

2.已知角α的终边过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,

则sin α=________,tan α=________. 

【解析】因为θ∈,所以cos θ<0,所以r== =-5cos θ,所以sin α==-,tan α==-.

答案:- 　-

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