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    2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析3.3 利用导数研究函数的极值、最值 学案

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    核心考点·精准研析

    考点一 用导数解决函数的极值问题 

    考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.

    (2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.

    怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.

    新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主

    1.求函数f(x)极值的一般解题步骤

    (1)确定函数的定义域;

    (2)求导数f (x);

    (3)解方程f (x)=0,求出函数定义域内的所有根;

    (4)列表检验f (x)在f (x)=0的根x0左右两侧值的符号.

    2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领

    (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

    (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

    由图象判断函数的极值

    【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=________. 

    【解析】f(x)=3ax2+2bx+c;

    根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;

    所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;

    根据根与系数的关系得,

    所以2b=-3a,c=-6a,

    所以===1.

    答案:1

    由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?

    提示:局部最高()点的横坐标是极大()值点.

    求已知函数的极值

    【典例】已知函数f(x)=x-1+(aR,e为自然对数的底数). 世纪金榜导学号

    (1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.

    (2)求函数f(x)的极值.

    【解析】(1)由f(x)=x-1+,

    得f (x)=1-.

    又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,

    所以f (1)=0,即1-=0,解得a=e.

    (2)f (x)=1-,

    当a0时,f (x)>0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.

    当a>0时,令f (x)=0,得ex=a,即x=ln a,

    当x(-,ln a)时, f (x)<0;

    当x(ln a,+)时, f (x)>0,

    所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,

    在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=

    ln a,无极大值.

    综上,当a0时,函数f(x)无极值;

    当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.

    若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?

    提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是ab.

    已知函数极值情况求参数值(范围)

    【典例】设aR,若函数y=x+aln x在区间上有极值点,则a的取值范围为              世纪金榜导学号(  )

    A.

    B.

    C.(e,+)

    D.(-,-e)

    【解析】B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间

    上有极值点,所以y在区间上有零点.

    f(x)=1+=(x>0).

    所以f·f(e)<0,

    所以(ea+1)<0,

    解得-e<a<-,

    所以a的取值范围为.

    已知函数极值求参数,常转化为什么问题?

    提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.

    1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是              (  )

    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

    D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

    【解析】D.由题图可知,x<-2,1-x>3,此时f(x)>0;-2<x<1,0<1 -x<3,此时f(x)<0;1<x<2,-1<1-x<0,此时f(x)<0;x>2,1-x<-1,此时f(x)>0,由此可以得到函数f(x)x=-2处取得极大值,x=2处取得极小值.

    2.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________. 

    【解析】函数f(x)=ln x+ax2-x,函数定义域为(0,+),f(x)=+2ax-.

    若x=1是函数f(x)的极大值点,则f(1)=0,解得a=;所以f(x)=ln x+x2-x,

    f(x)=+x-==;

    当f(x)>0时,0<x<1或x>2;

    函数在(0,1)和(2,+)上单调递增;

    当f(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;

    所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2.

    答案:ln 2-2

    3.(2019·荆门模拟)已知函数f(x)=x2+2x-2xex.求函数f(x)的极值.

    【解析】因为函数f(x)=x2+2x-2xex(xR),

    所以f(x)=2x+2-2ex-2xex=(2x+2)(1-ex),

    由f(x)=0,得x=-1或x=0,

    列表讨论,得:

    x

    (-,-1)

    -1

    (-1,0)

    0

    (0,+)

    f(x)

    -

    0

    +

    0

    -

    f(x)

    极小值

    极大值

    所以当x=-1时,

    f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×=-1,

    当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.

     设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0x2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为              (  )

    A.   B.

    C.   D.

    【解析】D.因为函数f(x)=ex(sin x-cos x),

    所以f(x)=[ex(sin x-cos x)]=ex(sin x-cos x)+ex(cos x+sin x)=2exsin x;

    令f(x)=0,解得x=kπ(kZ);

    所以当2kπ<x<2kπ+π时,f(x)>0,原函数单调递增,当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin (2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;

    又因为0x2 016π,所以0和2 016π都不是极值点,

    所以函数f(x)的各极大值之和为:

    eπ+e3π+e5π++e2 015π=.

    考点二 用导数解决函数的最值问题 

    【典例】(2019·全国卷改编)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]上的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.

    【解题导思】

    序号

    题目拆解

     

    (1)研究函数f(x)的单调性

    求出f(x),解不等式求单调区间.

    (2)求函数f(x)的最值

    根据f(x)的零点与区间的关系分类表示出最值,再求差的范围.

    【解析】f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),

    令f(x)=0;得x=0或x=,

    因为0<a<3,所以<1,

    所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,

    所以f(x)在[0,1]上的最小值为f=-+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.

    于是m=-+2,M=

    所以M-m=

    当0<a<2时,可知2-a+单调递减,所以M-m的取值范围是.

    当2a<3时,单调递增,

    所以M-m的取值范围是.

    综上,M-m的取值范围是.

     求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路

    (1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f (x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    (2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.

    (2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,nR).

    (1)讨论f(x)的单调性.

    (2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.

    【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),

    f(x)=-4mx=,

    当m0时,f(x)>0,

    所以f(x)在(0,+)上单调递增;

    当m>0时,令f(x)>0,得0<x<,

    令f(x)<0得x>,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.

    (2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.

    所以f(x)max=f=ln-2m·-n

    =-ln 2-ln m--n=-ln 2,

    所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-,

    令h(x)=x-ln x-(x>0),则h(x)=1-=,

    所以h(x)在上单调递减,

    上单调递增,所以h(x)min=h=ln 2,

    所以m+n的最小值为ln 2.

    考点三 用导数解决生活中的优化问题 

    【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.              世纪金榜导学号

    (1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.

    (2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.

    【解题导思】

    序号

    联想解题

    (1)

    待定系数法求函数关系

    根据已知条件得出日销量函数表达式q=(k0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k的值,进而得到利润y与出厂价x之间的函数关系式.

    (2)

    通过求函数最值,解答实际问题

    将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.

    【解析】(1)设日销量q=(k0),

    =100,所以k=100e30,所以日销量q=,

    所以y=(25x40).

    (2)当t=5时,y=,

    y=.

    由y′≥0得x26,由y′≤0,得x26,

    所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4,

    即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.

     利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤

    (1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).

    (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.

    (3)比较函数在区间端点和f(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.

    (4)回归实际问题作答.

     某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.

    (1)求a的值;

    (2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

    【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,

    所以+10=10.5,所以a=1.

    (2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-5)2,

    所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=

    (x-2)

    =1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.

    从而,f(x)=10[(x-5)2+2(x-2)(x-5)]=

    30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:

    x

    (2,3)

    3

    (3,5)

    f(x)

    +

    0

    -

    f(x)

    单调递增

    极大值41

    单调递减

    由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.

    所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41.

    答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

     

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