2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第9章第5节第2课时　直线与椭圆的综合问题

第2课时　直线与椭圆的综合问题

考点1　直线与椭圆的位置关系

　直线与椭圆位置关系判断的步骤

(1)联立直线方程与椭圆方程．

(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．

(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．

　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m＞1　　　　　　　 B．m＞0

C．0＜m＜5且m≠1   D．m≥1且m≠5

D　[直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内部或椭圆上，从而≤1，又m＞0，则m≥1，因为椭圆＋＝1中，m≠5.所以m的取值范围是m≥1且m≠5，故选D.]

2．过点M(－4,4)作椭圆＋＝1的切线，切点N在第一象限，设椭圆的左焦点为F，则直线NF的斜率为        ．

　[设N(x，y)，直线MN的斜率为k.M(－4,4)，则直线MN的方程为y－4＝k(x＋4)，代入椭圆方程消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中m＝4k＋4，

由于相切，所以Δ＝0，所以m2＝4k2＋3，所以解得k＝－，－，代入求得切点N，所以直线NF的斜率为kNF＝＝.]

3．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

　T2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式x1＝x2＝－(其中a，b分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)

考点2　直线与椭圆相交的弦长问题

　弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝

＝(k为直线斜率)．

(3)若直线的斜率不存在，可直接求交点坐标，再求弦长．

　(2018·北京高考改编)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若k＝1，求|AB|的最大值．

[解]　(1)由题意得

解得a＝，b＝1.

所以椭圆M的方程为＋y2＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，

由题意知Δ＝36m2－16(3m2－3)＞0，即－2＜m＜2，此时x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以|AB|＝

＝＝

＝.

当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.

　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的，不要忽略Δ＞0.

[教师备选例题]

直线经过椭圆＋＝1的左焦点，倾斜角为60°，与椭圆交于A，B两点，则弦长|AB|＝        .

　[由题意知直线方程为y＝(x＋2)，代入椭圆方程消元整理得5x2＋16x＝0，所以x＝0，或x＝－，

所以交点A(0,2)，B，

所以|AB|＝＝.]

　1.已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　)

A．±1　　　B．±  C.　　　D．±

A　[由消去y并整理，

得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

由题意知Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题意，得|AB|＝＝＝，解得m＝±1.]

2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．

[解]　(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，

又e＝，所以＝，c＝1，

所以b2＝22－1＝3，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，

由得5x2＋8x＝0，

解得x1＝0，x2＝－，

所以y1＝，y2＝－.

所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.

考点3　弦中点问题

　处理中点弦问题常用的两种方法

(1)点差法

设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)根与系数的关系

联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

　(1)在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为        ．

(2)(2019·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率e＝        .

(1)9x＋32y－73＝0　(2)　[(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得

两式相减得

＋＝0，

所以＝－，

即－＝，

因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，

所以＝－，

故该直线方程为y－2＝－(x－1)，

即9x＋32y－73＝0.

(2)设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.

由两式相减得

＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝.]

　用点差法求参数的值(或范围)时，要检验直线与椭圆是否相交．

　1.已知椭圆＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)

A．9x＋y－5＝0   B．9x－y－4＝0

C．x＋9y－5＝0   D．x－9y＋4＝0

C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直线方程为y－＝－，即x＋9y－5＝0.]

2．焦点为F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为        ．

＋＝1　[设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.

将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得

两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，

所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，

所以a2＝75，b2＝25，

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.]

考点4　椭圆与向量的综合问题

　解决椭圆与向量有关问题的方法

(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．

(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．

(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．

　(2019·长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．

[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由解得

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，

联立

整理得y2－y－9＝0，

则Δ＝＋144＞0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝，

又＝2，所以y1＝－2y2，

所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，

则3＋4k2＝8，解得k＝±，

又k＞0，所以k＝.

　解答本题应注意：

(1)根据＝2，确定y1与y2的关系，从而确定直线与椭圆方程联立消去x；

(2)根据y1＝－2y2得到y1＋y2＝－y2，(y1＋y2)2＝y，从而y1y2＝－2(y1＋y2)2；

(3)也可以根据求出y1，y2，再利用y1y2＝求解．

[教师备选例题]

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ＞1)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求实数λ的值．

[解]　(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，

又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，

设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．

若直线AB⊥x轴，

则x1＝x2＝1，不符合题意；

当AB所在直线l的斜率k存在时，

设l的方程为y＝k(x－1)．

由消去y得

(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①

①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)＞0，

∴

∴x1＋x2＝＝2×＝，

∴k2＝.

将k2＝代入方程①，

得4x2－2x－11＝0，

解得x＝.

又＝(1－x1，－y1)，

＝(x2－1，y2)，＝λ，

即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，

又λ＞1，∴λ＝.

　(2019·保定模拟)设点P在以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过F2作直线m交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.若＝λ1，＝λ2，且λ1λ2＝1，求λ1与λ2的值．

[解]　(1)因为点P在以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，

所以2a＝＋＝2，

所以a＝.

又因为c＝2，所以b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A，B，M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．

因为＝λ1，所以(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，

所以x1＝，y1＝，将A点坐标代入到椭圆方程中，得＋＝1.

去分母整理得18λ＋60λ1＋30－5y＝0.同理，由＝λ2可得18λ＋60λ2＋30－5y＝0，λ1，λ2是方程18λ2＋60λ＋30－5y＝0的两个根．

则λ1＋λ2＝－，又λ1λ2＝1，

二者联立解得λ1＝－3，λ2＝－，或λ1＝－，λ2＝－3.