2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第9章第7节　抛物线

第七节　抛物线
[最新考纲]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．


1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形




顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径P(x0，y0)
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AF|＝，|BF|＝.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(7)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． (　　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4. (　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1　　　　　　 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D．0
B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为 ．
y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]

考点1　抛物线的定义及应用
　与抛物线有关的最值问题的解题策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．
　(1)(2019·长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P.若|PF|＝5，则△PFK的面积为(　　)
A．4　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10
(2)(2019·福州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且点P不在直线AF上，则当△PAF周长取最小值时，线段PF的长为(　　)
A．1 B. C．5 D.
(1)A　(2)B　[(1)由抛物线的方程y2＝4x，可得F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，不妨设P(x0，y0)在第一象限，则P(4,4)，所以S△PKF＝|FK||y0|＝×2×4＝4.故选A.
(2)如图，求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的投影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值，可得当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|最小，此时P，F(1,0)，线段PF的长为＋1＝.故选B.]

　抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化是解题的关键．
　1.(2019·临川模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)
A. B．1 C. D．2
D　[由抛物线y2＝2px知其准线方程为x＝－.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x0＝x0＋，∴x0＝，∴A.∵点A在抛物线y2＝2px上，∴＝2.∵p＞0，∴p＝2.故选D.]
2．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
y2＝4x　[设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]
3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为 ．
3－1　[由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.]
考点2　抛物线的标准方程与几何性质

1．求抛物线标准方程的方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
　(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 ．
(1)D　(2)(1,0)　[(1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
(2)由题知直线l的方程为x＝1，
则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
　若抛物线的焦点位置不确定，应分焦点在x轴和y轴两种情况求解，如本例(1)．
[教师备选例题]
1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝y　　　 B．x2＝y或x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y
D　[将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.
∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2　　　　B．4 C．6　　　　D．8
B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]
　1.若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是 ．
20　[y2＝16x的准线l：x＝－4，因为C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝－4交于A，B两点，|AB|＝4，
设A在x轴上方，
所以A(－4,2)，B(－4，－2)，
将A点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(2)2＝m，所以m＝20.]
2．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
x2＝4y　[由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.]
考点3　直线与抛物线的综合问题
　直线与抛物线的交点问题
　直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
　(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由 y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
　(1)对于抛物线x2＝ay(a≠0)，直线与抛物线相切问题多用到导数的有关知识．
(2)本例第(2)问中，找出隐含条件|AB|＝2|MN|是解题的关键．
　抛物线的焦点弦问题
　解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
　(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
　(1)本例第(1)问中，x1＋x2是建立等式的纽带．(2)本例第(2)问中，设出圆心坐标(x0，y0)，构造关于x0，y0的方程组是关键．
　1.(2019·开封模拟)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0)
D．(－2,0)
A　[由直线与圆相切得，＝1，即k2＝t2＋2t，
由得x2－4kx－4t＝0.
由题意知Δ＝16k2＋16t＞0.
即t2＋3t＞0，解得t＞0或t＜－3.故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
D　[法一：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.
法二：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]
3．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝ .
12　[不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以直线方程为y＝－2(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.]
课外素养提升⑧　数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用
1．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学．
2．“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.

巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求
　　　 　
【例1】　(2019·泰安模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
y＝±x　[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×⇒yA＋yB＝p，
由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
[评析]　根据抛物线的定义把|AF|＋|BF|用A，B点的纵坐标表示，再把双曲线方程和抛物线方程联立得到A，B点纵坐标和的关系，然后进一步求解即可．
【素养提升练习】
1．(2019·怀化模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为(　　)
A．8　　　　B．16　　　　C．32　　　　D．64
C　[焦点F的坐标为(1,0)，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝2＋，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.
同理可得|CD|＝4＋4k2.所以四边形ACBD的面积
S＝|AB||CD|＝··4(k2＋1)＝8·＝8≥32，当且仅当k＝±1时取等号．故选C.]


中点弦或对称问题，可以利用“点差法”， 　“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法
　　　
【例2】　(1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2,2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为 ．
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是 ．
(1)x＋y＋＝0　(2)(－，)　[(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则
从而即M，
又y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－，即4x＋4y＋5＝0.
(2)当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y＜2x0，即(－k)2＜2，所以－＜k＜，且k≠0.
综上，k的取值范围为(－，)．]
[评析]　(1)先求BC的中点坐标，再用点差法求解．
(2)分k＝0和k≠0两种情况求解，当k＝0时，显然成立，当k≠0时，用点差法求解．
【素养提升练习】
2．中心为(0,0)，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C　[由题意知c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋(4－a2)(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.]


求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条
　　　　 直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，
可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求
【例3】　已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 ．
8　[由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.
由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋.
由抛物线的定义知，
|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.
同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.]
[评析]　设出直线l1的方程，则直线l2的方程也已知，先求|AB|，根据两直线的关系求|DE|，最后求|AB|＋|DE|的最小值．
【素养提升练习】
3．(2019·银川模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：x＝a2交x轴于点A，且＝2.

(1)试求椭圆的方程；
(2)过点F1，F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．
[解]　(1)由题意知，|F1F2|＝2c＝2，A(a2,0)，
∵＝2，∴F2为线段AF1的中点，
则a2＝3，b2＝2，则椭圆方程为＋＝1.
(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|＝＝，
此时|MN|＝2a＝2，四边形DMEN的面积S＝＝4.
同理当MN与x轴垂直时，
也有四边形DMEN的面积S＝＝4.
当直线DE，MN与x轴均不垂直时，
设直线DE：y＝k(x＋1)(k≠0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，
代入椭圆方程，消去y可得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝，
∴|DE|＝|x1－x2|＝.
同理|MN|＝＝，
∴四边形DMEN的面积S＝＝××＝，
令u＝k2＋，则S＝4－.
∵u＝k2＋≥2，当k＝±1时，u＝2，S＝，
且S是以u为自变量的增函数，则≤S＜4.
综上可知，≤S≤4，故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为.