|学案下载
搜索
    上传资料 赚现金
    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第4节 函数性质的综合问题
    立即下载
    加入资料篮
    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第4节 函数性质的综合问题01
    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第4节 函数性质的综合问题02
    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第4节 函数性质的综合问题03
    还剩10页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第4节 函数性质的综合问题

    展开
    第四节 函数性质的综合问题

    考点1 函数的单调性与奇偶性
     函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
    (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.
    (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的奇偶性与单调性,列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响.
     (1)(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(  )

    (2)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(  )
    A.[-2,2]       B.[-1,1]
    C.[0,4] D.[1,3]
    (1)C (2)D [(1)∵f(x)是定义域为R的偶函数,
    ∴f(-x)=f(x).
    ∴f=f(-log34)=f(log34).
    又∵log34>log33=1,且1>2>2>0,
    ∴log34>2>2>0.
    ∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
    ∴f(2)>f(2)>f(log34)=f.故选C.
    (2)∵f(x)为奇函数,
    ∴f(-x)=-f(x).
    ∵f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1.
    故由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
    又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
    ∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.]
     (1)函数值的大小比较问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用其单调性比较大小.
    (2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式,如x1<x2(或x1>x2)求解.
     1.已知函数f(x)满足以下两个条件:①任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0;②对定义域内任意x有f(x)+f(-x)=0,则符合条件的函数是(  )
    A.f(x)=2x B.f(x)=1-|x|
    C.f(x)=-x3 D.f(x)=ln(x2+3)
    C [由条件①可知,f(x)在(0,+∞)上单调递减,则可排除A、D选项,由条件②可知,f(x)为奇函数,则可排除B选项,故选C.]
    2.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是(  )
    A.f(1)<f<f
    B.f<f(1)<f
    C.f<f<f(1)
    D.f<f(1)<f
    B [∵函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,
    ∴函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x),
    ∴f(1)=f(3),f<f(3)<f,
    即f<f(1)<f.]
    3.(2019·滨州模拟)设奇函数f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为(  )
    A.(-1,0)∪(1,+∞)
    B.(-∞,-1)∪(0,1)
    C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
    D.(-1,0)∪(0,1)
    D [∵奇函数f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,∴函数f(x)的图象关于原点对称,且过点(1,0)和(-1,0),且f(x)在(-∞,0)上也是增函数.∴函数f(x)的大致图象如图所示.∵f(-x)=-f(x),∴不等式<0可化为<0,即xf(x)<0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围,据图象可知x∈(-1,0)∪(0,1).]

    考点2 函数的周期性与奇偶性
     已知f(x)是周期函数且为偶函数,求函数值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解.
     (2019·福州质量检测)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)+f(-x)=0,f为偶函数,当0<x≤时,f(x)=-x,则f(2 017)+f(2 018)=________.
    -2 [依题意,f(-x)=-f(x),f=f,所以f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x),所以f(2 017)=f(1)=-1,f(2 018)=f(2)=f=f=f(1)=-1,所以f(2 017)+f(2 018)=-2.]
     解奇偶性、周期性的综合性问题的两个关键点
    (1)利用奇偶性和已知等式求周期.
    (2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解.
     1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=-f,且f(1)=2,则f(2 018)=________.
    -2 [因为f(x)=-f,所以f(x+3)=f=-f=f(x).
    所以f(x)是以3为周期的周期函数.
    则f(2 018)=f(672×3+2)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-2.]
    2.已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=2a-3,则实数a的取值范围为________.
    (-∞,2) [∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),∵f(1)<1,∴f(5)=2a-3<1,即a<2.]
    考点3 单调性、奇偶性、周期性、
    对称性等综合问题
     函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
     [一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  )
    A.-50 B.0
    C.2 D.50
    C [法一:(直接法)∵f(x)是奇函数,
    ∴f(-x)=-f(x),
    ∴f(1-x)=-f(x-1).
    由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1),
    ∴f(x+2)=-f(x),
    ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
    ∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
    由f(x)为奇函数得f(0)=0.
    又∵f(1-x)=f(1+x),
    ∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
    ∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.
    又f(1)=2,∴f(-1)=-2,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)
    =0×12+f(49)+f(50)
    =f(1)+f(2)=2+0=2.
    法二:(特例法)由题意可设f(x)=2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.]

     (1)函数的奇偶性与对称性的关系
    ①若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则其函数图象关于直线x=a对称;当a=0时可以得出f(x)=f(-x),函数为偶函数,即偶函数为特殊的线对称函数.
    ②若函数f(x)满足f(2a-x)=2b-f(x),则其函数图象关于点(a,b)对称;当a=0,b=0时得出f(-x)=-f(x),函数为奇函数,即奇函数为特殊的点对称函数.
    (2)函数的对称性与周期性的关系
    ①若函数f(x)关于直线x=a与直线x=b对称,那么函数的周期是2|b-a|.
    ②若函数f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,那么函数的周期是2|b-a|.
    ③若函数f(x)关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,那么函数的周期是4|b-a|.
    (3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系

    其中a≠0,上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个.
    [教师备选例题]
    1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则f(x)在[1,3]上是(  )
    A.增函数
    B.减函数
    C.先增后减的函数
    D.先减后增的函数
    D [根据题意,因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数,在[-1,0]上是减函数,所以函数f(x)在[0,1]上是增函数,所以函数f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,3]上是增函数,所以f(x)在[1,3]上是先减后增的函数,故选D.]
    2.已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,有下列命题:
    ①函数f(x)的图象关于直线x=4k+2(k∈Z)对称;
    ②函数f(x)的单调递增区间为[8k-6,8k-2](k∈Z);
    ③函数f(x)在区间(-2 018,2 018)上恰有1 008个极值点;
    ④若关于x的方程f(x)-m=0在区间[-8,8]上有根,则所有根的和可能为0或±4或±8.
    其中真命题的个数为(  )
    A.1          B.2
    C.3 D.4
     C [①正确,∵定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x),即f(x-8)=f(x),∴f(x)是以8为周期的周期函数,8k(k∈Z且k≠0)也是其周期.又f(x)为R上的连续奇函数,由f(x-4)=-f(x),即f(x)=-f(x-4),得f(x)=f(4-x),
    ∴函数f(x)的一条对称轴为x==2.
    又8k(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期,
    ∴f(x)=f(x+8k)=f(4-x),
    ∴函数的对称轴为x==4k+2(k∈Z且k≠0).
    综上,函数f(x)的图象关于直线x=4k+2(k∈Z)对称,故①正确;
    ②错误,作图如下:

    由图可知,函数f(x)的单调递减区间为[8k-6,8k-2](k∈Z),故②错误;
    ③正确,由图可知,f(x)在一个周期内有两个极值点,在区间(-2 016,2 016)上有504个完整周期,有1 008个极值点,在区间(-2 018,-2 016]和[2 016,2 018)上没有极值点,故在区间(-2 018,2 018)上有1 008个极值点,③正确;
    ④正确,由图中m1,m2,m3,m4,m5五条直线可知, 关于x的方程f(x)-m=0在区间[-8,8]上有根,则所有根的和可能为0或±4或±8,故④正确.
    综上所述,①③④正确,故选C.]
     1.(2019·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1,f(5)=a2-2a-4,则实数a的取值范围是(  )
    A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
    C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
    A [由f(x+1)=-f(x-1),可得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4,则f(5)=f(1)=a2-2a-4,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)>1,所以f(1)<-1,所以a2-2a-4<-1,解得-1<a<3,故选A.]
    2.定义在R上的奇函数f(x)满足f=f(x),当x∈时,f(x)=log(1-x),则f(x)在区间内是(  )
    A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0
    C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0
    D [当x∈时,由f(x)=log (1-x)可知,f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)在区间上也单调递增,且f(x)<0.由f=f(x)知,函数的周期为,所以在区间上,函数f(x)单调递增且f(x)<0.]
    课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论

    数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”解决数学问题,可优化数学运算的过程,使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.


    奇函数的最值性质

    已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
    【例1】 设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
    2 [显然函数f(x)的定义域为R,
    f(x)==1+,
    设g(x)=,则g(-x)=-g(x),
    ∴g(x)为奇函数,
    由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
    ∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.]
    【素养提升练习】
    1.已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f=(  )
    A.-1         B.0
    C.1 D.2
    D [设g(x)=ln(-3x),易知函数的定义域为R,关于原点对称,
    ∵g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(-3x)(+3x)=ln 1=0,
    ∴g(x)为奇函数,
    ∴g(lg 2)+g=g(lg 2)+g(-lg 2)=0,
    又∵f(x)=g(x)+1,
    ∴f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.]


    抽象函数的周期性

    (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.
    (2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
    (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
    【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2 017)+f(2 018)=(  )
    A.3          B.2
    C.1 D.0
    C [因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,
    所以f(-2 017)=-f(2 017),
    因为当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),
    所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,自变量的值每增加6,对应函数值重复出现一次.
    又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,
    ∴f(2 017)=f(336×6+1)=f(1)=2,
    f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=3.
    故f(-2 017)+f(2 018)=-f(2 017)+3=1.]
    【素养提升练习】
    2.(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f=________.
     [∵f(x+2)=-,∴f(x+4)=f(x),
    ∴f=f,又2≤x≤3时,f(x)=x,
    ∴f=,∴f=.]


    抽象函数的对称性

    已知函数f(x)是定义在R上的函数.
    (1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
    (2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
    【例3】 函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为________.
    4 [因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
    所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,
    所以f(x)是R上的奇函数,
    则f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.
    所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,
    所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,
    所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.]
    【素养提升练习】
    3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则=(  )
    A.0 B.m
    C.2m D.4m
    B [∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),
    故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
    函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称,
    故函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点也关于直线x=1对称,且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时,=×2=m,当f(x)过点(1,4)时,=×2+1=m.
    综上,=m.]


    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第4节 函数性质的综合问题
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map