2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第九章　第5讲　第2课时　直线与椭圆

第2课时　直线与椭圆

　　　　　　直线与椭圆的位置关系(师生共研)

已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有且只有一个公共点；

(2)没有公共点．

【解】　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(2)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

直线与椭圆位置关系判断的步骤

(1)联立直线方程与椭圆方程．

(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．

(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．

　不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B．(0，7) 

C．[1，7)  D．(1，7]

解析：选C.直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆＋＝1上或其内部，所以有≤1，得m≥1.又椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m<7.综上，1≤m<7.

　　　　　　弦长问题(师生共研)

已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝，求出直线l的方程．

【解】　设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，

所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，

由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，

得|m|<.

|AB|＝2＝2＝×，

联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，

由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

|CD|＝|x1－x2|＝× ＝× ＝×＝|AB|＝××，

解得m2＝<7，得m＝±.

即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.

求直线与椭圆弦长的方法

(1)若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；

(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长的为2a.

　已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为        ；若直线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝        ．

解析：由题意可知，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，由点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆上，则a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y，整理得2x2＝4，则x1＝，x2＝－，y1＝，y2＝－，则|MN|＝＝.

答案：＋y2＝1　

　　　　　　中点弦问题(师生共研)

(一题多解)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

【解析】　通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得①－②得＋＝0，

所以＋·＝0.

因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，kAB＝＝，

所以＋×＝0，即a2＝2b2.

又c＝3＝，所以a2＝18，b2＝9.

所以椭圆E的方程为＋＝1.

优解：由题意可得

解得a2＝18，b2＝9，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

【答案】　D

中点弦的重要结论

AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．

(1)斜率：k＝－；

(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.　

　已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)

A．9x－y－4＝0  B．9x＋y－5＝0

C．2x＋y－2＝0  D．x＋y－5＝0

解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，即＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0.

　　　　　　椭圆与向量的综合问题(师生共研)

(1)已知点F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|＋|＝2，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为(　　)

A.   B. 

C．2  D．1

(2)(2020·石家庄质量检测(二))倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B. 

C.  D．

【解析】　(1)|＋|＝2||＝2，

所以||＝＝c，所以MF1⊥MF2，

解得|MF1||MF2|＝2，

所以三角形的面积S＝×|MF1|×|MF2|＝1.

(2)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又＝2，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得，所以＝，所以e＝，故选B.

【答案】　(1)D　(2)B

解决椭圆中与向量有关问题的方法

(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．

(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．

(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．

　已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.   B. 

C.  D．

解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，因为·≥2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0<≤.

核心素养系列18　数学运算——“设而不求”求解直线与椭圆的问题

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学．

已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为        ．

【解析】　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，则有＋y＝1， ＋y＝1.

两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，

代入后求得kAB＝－.

即2＝－，所以x0＋4y0＝0.

故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y2＝1得＋＝1，

解得x＝±，又中点在椭圆内，所以－<x<.

【答案】　x＋4y＝0

“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．

　已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝        ．　

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，

因为直线l过椭圆内的定点(1，0)，

所以Δ>0，x1＋x2＝，

所以＝＝，即k2＝，

所以k＝±.

答案：±

[基础题组练]

1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(1，3)∪(3，＋∞)

C．(3，＋∞)  D．(0，3)∪(3，＋∞)

解析：选B.由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.

2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)

A．±  B．± 

C．±  D．±2

解析：选A.由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－.

3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.   B. 

C.  D．

解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B.

4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

解析：选B.将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.

5．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为(　　)

A.  B．± 

C．±  D．

解析：选B.由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1，0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.

6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为        ．

解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.

答案：＋x2＝1

7．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为        ．

解析：由消去y并整理，

得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题意，得＝，

解得m＝±1.

答案：±1

8．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在的直线方程是        ．

解析：由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b，

则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，

联立方程组则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，

所以＝·＝1，

解得k＝－(满足Δ>0)，故b＝，

所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率．

解：(1)由题意可得2c＝2，即c＝，又e＝＝，解得a＝，b＝＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由直线l过点D(1，0)且垂直于x轴，设A(1，y1)，B(1，－y1)，则AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．令x＝3，可得M(3，2－y1)，所以直线BM的斜率kBM＝＝1.

10．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．

解：(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1<0，

则即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28.

故a＝7，b＝2.

[综合题组练]

1．(2020·江西许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)

A．2  B．3 

C．4  D．5

解析：选D.易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5，故选D.

2．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是        ．

解析：设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①

将y2＝b2－x2代入①式解得

x2＝＝，

又x2∈[0，a2]，所以2c2≤a2≤3c2，

所以e＝∈.

答案：

3．(2019·高考天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，

又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，进而直线OP的斜率＝，在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从而k＝±.

所以直线PB的斜率为或－.

4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形ABF2F1的面积．

解：(1)由题意知2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，

所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F1(－2，0)，F2(2，0)，

所以＝(－2－x1，－y1)，＝(2－x2，－y2)，

由＝2，得x1＋2＝2(x2－2)，y1＝2y2.

延长AB交x轴于H，

因为＝2，所以AF1∥BF2，且|AF1|＝2|BF2|.

所以线段BF2为△AF1H的中位线，即F2为线段F1H的中点，

所以H(6，0)．

设直线AB的方程为x＝my＋6，

代入椭圆方程，得5(my＋6)2＋9y2＝45，即(5m2＋9)y2＋60my＋135＝0.

所以y1＋y2＝－＝3y2，y1·y2＝＝2y，

消去y2，得m2＝，结合题意知m＝－.

S四边形ABF2F1＝S△AF1H－S△BF2H＝|F1H|y1－|F2H|y2＝4y1－2y2＝8y2－2y2＝6y2＝－＝.