2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第7章第2节　一元二次不等式及其解法

第二节　一元二次不等式及其解法
[最新考纲]　1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．


1．一元二次不等式
把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
2．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1 有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1 ∅
∅

1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0.
2．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)＞0⇔f(x)g(x)＞0.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. (　　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. (　　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜－1}　　　 B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}
A　[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]
2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于(　　)
A．{x|－2＜x＜3} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
B　[由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2，或x＞3}，∴∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B.]
3．一元二次不等式2kx2＋kx－＜0的解集为R，则k的取值范围是 ．
(－3,0)　[由题意知
解得－3＜k＜0.]
4．关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝ .
1　[由题意知，x＝2是方程－x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－×22＋2×2＝2，解得m＝1.]

考点1　不含参数的一元二次不等式
　解一元二次不等式的四个步骤

　1.已知集合M＝{x|x2－x－2＜0}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，则M∩N＝(　　)
A．{x|－2≤x＜1}　 B．{x|1＜x＜2}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}
C　[由x2－x－2＜0得(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2，即M＝{x|－1＜x＜2}．
又N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，
则M∩N＝{x|－1＜x≤1}，故选C.]
2．不等式2x＋3－x2＞0的解集是(　　)
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|x＞3或x＜－1}
C．{x|－3＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜－3}
A　[不等式2x＋3－x2＞0可化为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3，故选A.]
3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是(　　)
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
A　[由题意知或
即或
解得－1≤x≤0或0＜x≤1，即－1≤x≤1，故选A.]
　解一元二次不等式，求相应一元二次方程的根是关键，若一元二次方程有两个相等的根或无解，则应根据二次函数的图象写出不等式的解集．
考点2　含参数的一元二次不等式
　解含参数的一元二次不等式的三个分类讨论点
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
　(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)
A．{x|2 C. D.
(2)解关于x的不等式
①x2＋ax＋1＜0(a∈R)；
②ax2－(a＋1)x＋1＜0.
(1)B　[∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴
解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
(2)[解]　①Δ＝a2－4.
a．当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．
b．当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为
.
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为
.
②若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，
解得x＞1.
若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，
解得x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.
a．当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；
b．当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；
c．当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜.
综上所述，当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为∅；
当a＞1时，解集为.
　当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．
　1.若不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为，则的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－
A　[由题意知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和，∴－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.]
2．解关于x的不等式12x2－ax＞a2(a∈R)．
[解]　原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＜0时，不等式的解集为∪.
考点3　一元二次不等式恒成立问题(多维探究)
　一元二次不等式恒成立问题的解法
1．函数法
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0且Δ＜0；
(2)f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0且Δ＜0；
(3)当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或
f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔
(4)当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或
2．最值法
对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．
a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，
a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
　在R上的恒成立问题
　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　　 B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
C　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.
所以实数a的取值范围是(－2,2]．]
　解答本题易忽视二次项系数等于零的情况，导致错误答案．
[教师备选例题]
已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
[解]　(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有
解得0＜a≤1，
综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)因为f(x)＝
＝，
因为a＞0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，所以a＝，
所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.
解得－＜x＜，
所以不等式的解集为.
　在给定区间上的恒成立问题
　(1)[一题多解]若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[－1,1]
C．(－∞，1] D.
(1)A　(2)C　[(1)法一(函数法)：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，
得
解得a≤－3，故选A.
法二(最值法)：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A.
(2)f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，即2a≤x＋在x∈(0,2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1.故选C.]
　本例T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂．
　1.若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
D　[当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．
则
解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．故选D.]
2．若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是 ．
　[由题意得，函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－＜m＜0.]
考点4　一元二次不等式的应用
　求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义；
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
　甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
[解]　(1)根据题意，
得200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为y元，则
y＝·100＝9×104
＝9×104，
故当x＝6时，ymax＝457 500元．
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．
　解答本题第(2)问时，把y看作的二次函数是解题的关键．
　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？
[解]　由题意知，对于甲车，
有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1 200＞0，
解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，
这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意刹车距离略超过12 m，
由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，
即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．