2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第6章经典微课堂规范答题系列2：高考中的数列问题

[命题解读]　从近五年全国卷高考题来看，数列与解三角形在解答题中交替考查.2019年高考题中解答题的位置从以往的第17题变成18题，但试题难度并未增加．本专题的热点题型有：一是等差(比)数列的基本计算，二是等差(比)数列的判定与证明，三是数列求和问题．

[典例示范]　(本题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.

(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．①

(2)求{an}和{bn}的通项公式．②

[信息提取]　(1)看到①想到用定义法证明等差(比)数列．

(2)看到②想到用第①的结论求解．

[规范解答]　(1)证明：由题意得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，

即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn). ……………………………………2分

又因为a1＋b1＝1，

所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列. ……………3分

由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，

即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. ……………………………………5分

又因为a1－b1＝1，

所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列. ……………6分

(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，…………………8分

所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，………………10分

bn＝＝－n＋.………………………12分

[易错防范]　

[通性通法]　(1)证明数列{an}是等比数列，只需证明an＋1＝kan(k为常数)或＝k(k为常数)．同时说明a1≠0.

(2)证明数列{bn}是等差数列，只需证明bn＋1－bn＝k(k为常数)或bn－bn－1＝k(k为常数，n≥2)．

[规范特训]　(2020·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n.

(1)求证：{an＋1}为等比数列；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

[解]　(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，即a1＝1.

当n≥2时，由Sn＝2an－n，①

得Sn－1＝2an－1－(n－1)，②

①－②得an＝2an－2an－1－1，即an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2，

所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知an＋1＝2n，

所以an＝2n－1.

所以Sn＝2(2n－1)－n＝2n＋1－(n＋2)，

所以Tn＝－＝2n＋2－4－.