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    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第7章第4节 基本不等式

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    第四节 基本不等式

    [最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大()值问题.

    1基本不等式

    (1)基本不等式成立的条件:a>0b>0.

    (2)等号成立的条件:当且仅当ab.

    2.几个重要的不等式

    3.算术平均数与几何平均数

    a>0b>0,则ab的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

    4.利用基本不等式求最值问题

    已知x>0y>0,则

    (1)xy2,若xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值2(简记:积定和最小)

    (2)xy,若xy是定值q,那么当且仅当xy时,xy有最大值(简记:和定积最大)

    重要不等式链

    ab0,则ab.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)函数yx的最小值是2. (  )

    (2)函数f(x)cos xx的最小值等于4. (  )

    (3)x>0y>02的充要条件. (  )

    (4)a>0,则a3的最小值为2. (  )

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

    二、教材改编

    1.设x0y0,且xy18,则xy的最大值为(  )

    A80   B77   C81   D82

    C [xy81,当且仅当xy9时,等号成立.故选C.]

    2.若x0,则x(  )

    A.有最大值,且最大值为4

    B.有最小值,且最小值为4

    C.有最大值,且最大值为2

    D.有最小值,且最小值为2

    B [x0时,x24,当且仅当x2时等号成立.故选B.]

    3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是        m2.

    25 [设一边长为x m,则另一边长可表示为(10x)m

    由题知0x10,则面积Sx(10x)225,当且仅当x10x,即x5时等号成立,故当矩形的长与宽相等,且都为5 m时面积取到最大值25 m2.]

    4.一个长方体的体积为32,高为2,底面的长和宽分别为xy,则xy的最小值为       

    8 [由题意知xy16,则xy28;当且仅当xy4时等号成立,故xy的最小值为8.]

    考点1 利用基本不等式求最值

     利用基本不等式求最值的三种思路

    利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有三种思路:

    (1)对条件使用基本不等式直接求解.(直接法)

    (2)针对待求最值的式子,通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项,然后用基本不等式求解.(配凑法)

    (3)已知条件中有值为1的式子,把待求最值的式子和值为1的式子相乘,再用基本不等式求解.(常数代换法)

     直接法求最值

     (1)ab都是正数,且ab1,则(a1)(b1)的最大值为(  )

    A.    B2    C.    D4

    (2)ab0,则的最小值为(  )

    A2   B.  C3   D2

    (3)(2019·天津高考)x0y0x2y4,则的最小值为       

    (1)C (2)A (3) [(1)(a1)(b1)2,故选C.

    (2)ab022

    当且仅当,即ab时等号成立,故选A.

    (3)2

    x0y0x2y4

    4x2y2

    xy2

    22.]

     解答本例T(2)T(3)时,先把待求最值的式子变形,这是解题的关键.

     配凑法求最值

     (1)已知x,则x(14x)取最大值时x的值是(  )

    A.        B.     C.      D.

    (2)已知不等式2xm0对一切x恒成立,则实数m的取值范围是(  )

    Am>-6   Bm<-6

    Cm>-7   Dm<-7

    (3)若-4x1,则f(x)(  )

    A.有最小值1   B.有最大值1

    C.有最小值-1   D.有最大值-1

    (1)C (2)A (3)D [(1)x14x0,则

    x(14x)·4x(14x)×2

    当且仅当4x14x,即x时等号成立,故选C.

    (2)由题意知,-m2x对一切x恒成立,又x时,x10

    2x2(x1)2226

    当且仅当2(x1),即x2时等号成立.

    m6,即m>-6,故选A.

    (3)4x101x5

    f(x)=-×2=-1,当且仅当1x,即x0时等号成立.

    函数f(x)有最大值-1,无最小值,故选D.]

     形如f(x)的函数,可化为f(x)的形式,再利用基本不等式求解,如本例T(3)

    [教师备选例题]

    已知x,则f(x)4x2的最大值为       

    1 [因为x,所以54x0

    f(x)4x2=-323=-231.

    当且仅当54x,即x1时,等号成立.

    f(x)4x2的最大值为1.]

     常数代换法求最值

     (1)已知实数xy满足x0y0,且1,则x2y的最小值为(  )

    A2      B4  C6   D8

    (2)a0b0,若33a3b的等比中项,则的最小值为(  )

    A12     B4   C.   D.

    (1)D (2)D [(1)x2y(x2y)4428,当且仅当,即x4y2时等号成立,故选D.

    (2)由题意知3a·3b(3)2,即3ab33

    ab3(ab)

    当且仅当,即ab时等号成立,故选D.]

     使用常数代换法时,若式子的值不为1,应注意平衡系数,如本例T(2)

    [教师备选例题]

    已知正实数xy满足2xy2,则的最小值为       

     [正实数xy满足2xy2

    (2xy)

    ,当且仅当xy时取等号.

    的最小值为.]

     1.x0y0,且x4y40,则lg xlg y的最大值是(  )

    A40     B10  C4   D2

    D [x0y0x4y4040x4y2

    10,即xy100(当且仅当x20y5时等号成立)

    lg xlg ylg(xy)lg 1002,故选D.]

    2.若对于任意的x0,不等式a恒成立,则实数a的取值范围为(  )

    Aa   Ba

    Ca   Da

    A [x0,得,当且仅当x1时,等号成立.则a,故选A.]

    3.若abc都是正数,且abc2,则的最小值是(  )

    A2      B3  C4   D6

    B [由题意知(a1)(bc)3,则

    [(a1)(bc)]

    3

    当且仅当,即a1bc1时等号成立,故选B.]

    考点2 基本不等式的实际应用

     利用基本不等式解决实际问题的三个注意点

    (1)设变量时,一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

    (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

    (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.

     (2019·常州模拟)习总书记指出:绿水青山就是金山银山”.常州市一乡镇响应号召,因地制宜的将该镇打造成生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x)其它成本投入(如培育管理等人工费)20x(单位:元).已知这种水果的市场售价大约为10/千克,且供不应求.记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位:元)

    (1)f(x)的函数关系式;

    (2)当投入的肥料费用为多少时,该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?

    [] (1)由已知f(x)10W(x)20x10x10W(x)30x

    f(x)

    (2)(1)f(x)变形得

    f(x)

    0x2时,f(x)上单调递减,在上单调递增,

    f(0)100f(2)240

    f(x)maxf(2)240

    2x5时,f(x)51030

    x128

    当且仅当1x时,即x3时等号成立.

    f(x)max51030×8270

    因为240270,所以当x3时,f(x)max270.

    答:当投入的肥料费用为30元时,种植该果树获得的最大利润是270元.

     解答本例第(2)问时,对f(x)30的变形是解题的关键.

     1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是       

    30 [一年的总运费为6×(万元)

    一年的总存储费用为4x万元.

    总运费与总存储费用的和为万元.

    因为4x2240,当且仅当4x,即x30时取得等号,

    所以当x30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.]

    2.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区,最少需要        小时.

    10 [设全部物资到达灾区所需时间为t小时,

    由题意可知,t相当于最后一辆车行驶了50km400 km所用的时间,

    因此,t210.

    当且仅当,即v80时取”.

    故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少要10小时.]

     

     

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