2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第八章8.5空间向量及其应用

§8.5　空间向量及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线．
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直.
本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.



1．空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量


2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b).
②交换律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角余弦
cos〈a，b〉
(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝

5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．


(3)
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0

概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示　不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．
2．零向量能作为基向量吗？
提示　不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)
题组二　教材改编
2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
题组三　易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案　B
解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，
∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.
答案　
解析　∵P，A，B，C四点共面，
∴＋＋t＝1，∴t＝.
6．设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
答案　α⊥β　α∥β
解析　当v＝(3，－2,2)时，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v，所以α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.


空间向量的线性运算
例1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；
(2)；
(3)＋.
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋
＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
思维升华　用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
跟踪训练1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________________.

答案　＋＋
解析　∵＝＝(＋)，
∴＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)

A.(－a＋b＋c)
B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c)
D.(－a－b＋c)
答案　B
解析　＝＋＝(－)＋
＝－＋(－)＝＋－
＝(a＋b－c)．
共线定理、共面定理的应用
例2　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明　(1)连接BG，
则＝＋

＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－
＝－
＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
思维升华　证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P
＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t
对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x)
对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)

跟踪训练2　如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解　(1)∵＝k，＝k，
∴＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(＋)＋
＝k＋＝－k
＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，
MN在平面ABB1A1内，
当0 又由(1)知与，共面，
∴MN∥平面ABB1A1.
综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；
当0 空间向量数量积及其应用
例3　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．

(1)求证：EG⊥AB；
(2)求EG的长；
(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
由题意知＝(＋－)＝(b＋c－a)，
所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
(2)解　由题意知＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，
则||＝，即EG的长为.
(3)解　＝(＋)＝b＋c，
＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝
＝
＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
思维升华　(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．
(3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
跟踪训练3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
解　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
即与夹角的余弦值为.
向量法证明平行、垂直
例4　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：

(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明　以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，
M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
则即
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.
又CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)方法一　由(1)知，＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)，
设平面PAB的一个法向量m＝(x0，y0，z0)，
则即
令x0＝1，得m＝(1,0，)，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)，
∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，∴m⊥n，
∴平面PAB⊥平面PAD.
方法二　如图，取AP的中点E，连接BE，
则E(，2,1)，＝(－，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
思维升华　(1)用向量证明平行的方法
①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量．
②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量．
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直．
②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．
③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直．
跟踪训练4　如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：

(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.
证明　由二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面BAC.
又∵AB＝AC，BC＝AB，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°且CA⊥AB，
∴AB，AC，AA1两两互相垂直．

以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设AB＝2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0，2,2)．
(1)＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，
设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，
则即
即取y＝1，则n＝(0,1,0)．
∴＝2n，即∥n，
∴A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，
设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．
∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴⊥m.
又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.


1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案　B
解析　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
答案　D
解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.
4．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足＝2a＋b，＝3a－b，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　||＝＝＝，
同理||＝，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝，
∴△OAB的面积S＝×××＝，故选B.
6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A. B. C．1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，
故||＝.
7．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.
答案　－9
解析　由题意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴解得λ＝－9.
8．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.
答案　(3，－2,2)
解析　因为a∥b，所以＝＝(y≠0)，
解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，
又因为b⊥c，所以b·c＝0，
即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案　平行
解析　如图，设＝a，＝b，

＝c，则＝a＋c－b，
由题意知＝b－c，
＝－
＝a－b＋c.
因此＝＋，
∴，，共面．
又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
10．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角是60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是________．
答案　①②
解析　①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中，－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中，|··|＝0，故④也不正确．
11.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
方法一　∵CC′⊥平面ABC且CA⊥CB，
∴以点C为原点，分别以CA，CB，CC′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)．
令AC＝BC＝AA′＝2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C′(0,0,2)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1,1,0)，
(1)证明　∴＝(0,2,1)，＝(－1,1，－2)，
∵·＝0＋2－2＝0，∴⊥，∴CE⊥A′D.
(2)解　＝(－2,0,2)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
方法二　设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)证明　＝b＋c，＝－c＋b－a，
∴·＝－b·c－c2＋b2＋b·c－a·b－a·c＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
12.如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.

(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF.
证明　取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，
故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2，0)，F(0,0，)，B(1,2,0)．
＝(－2，－2,0)，＝(1,0，)，＝(－1，－2，)．
(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，得n＝(－，，1)．
又四边形BDEF为平行四边形，
∴＝＝(－1，－2，)，
∴＝＋＝＋
＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)
＝(－3，－4，)，
∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n，
又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF.
(2)＝(－3,0，)，
∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
∴⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.

13．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案　C
解析　∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
14.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

答案　
解析　连接ON，设＝a，＝b，＝c，

则＝－＝(＋)－＝b＋c－a，
＝＋＝＋
＝a＋＝a＋b＋c.
又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝，
因此x＋y＋z＝＋＋＝.

15．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
答案　(1,1,2)
解析　由题意，设＝λ，则＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2)．
16.如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证：

(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
证明　(1)取BC的中点O，连接PO，
∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC，
∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)，
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0.
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.