2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第八章8.3直线、平面平行的判定与性质

§8.3　直 线、平面平行的判定与性质
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.



1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

⇒l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

⇒a∥b

概念方法微思考
1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
提示　不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．
2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示　平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)
(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(　×　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)
(4)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)
题组二　教材改编
2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案　D
解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案　平行
解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，

在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，
所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，
而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
题组三　易错自纠
4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)
A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α
答案　A
解析　对于A，由m∥l1，m⊂α，l1⊄α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
答案　A
解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)
答案　②④
解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；
由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.

直线与平面平行的判定与性质
命题点1　直线与平面平行的判定
例1　(2019·四川省名校联盟模拟)如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.

证明　方法一　∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE；
又AF∥ED，∵AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，
∴AF∥平面CDE；
∵AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，
∴平面ABF∥平面CDE，
又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE.
方法二　如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，

∵AF∥DN，且AF＝DN，
∴四边形ADNF为平行四边形，
∴AD∥FN，且AD＝FN，
又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，
∴四边形BCNF为平行四边形，
∴BF∥NC，∵BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，
∴BF∥平面CDE.
命题点2　直线与平面平行的性质
例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.

证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，
又M是PC的中点，所以AP∥OM.
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
所以PA∥平面BMD.
又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.
思维升华　判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
跟踪训练1　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.

(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离．
(1)证明　取PC的中点M，连接DM，MF，

∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴MF∥CB，MF＝CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，
∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解　∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∴S△PCD＝××1＝，连接EP，EC，
∵VE－PDC＝VC－PDE，
设E到平面PCD的距离为h，
则×h×＝×1×××1，
∴h＝，∴F到平面PDC的距离为.
平面与平面平行的判定与性质
例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，
∴A1G∥EB，A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
解　连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.

由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则＝＝1.
同理，AD1∥C1D，
又AD∥C1D1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝D1C1，
又AC＝A1C1，
所以＝，所以＝1，即＝1.
思维升华　证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
跟踪训练2　(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P－ABM的体积．
(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，
又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解　由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝××1××2＝.
平行关系的综合应用
例4　如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解　设EF＝x(0 ∵EF∥AB，FG∥CD，∴＝，
则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
跟踪训练3　如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.

(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
(1)证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且线段DH＝AC.

∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH，则AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH.
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG，GF⊄平面β，BH，HD⊂平面β，
∴EG∥平面β，GF∥平面β，
又EG∩GF＝G，EG，GF⊂平面EFG，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
(2)解　如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.

∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF或其补角为AC与BD所成的角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝＝，
即EF＝或EF＝.


1．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案　D
解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案　D
解析　A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
3．(2019·合肥质检)已知a，b，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α
B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若α∥β，a∥α，则a∥β
D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c
答案　D
解析　 若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．

4．(2020·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案　B
解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
5.(2019·安徽省江南十校检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是(　　)

A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
答案　B
解析　过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，

∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，
∴A1B∥平面EFG.故选B.
6．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)


答案　A
解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；


C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，
又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________．(填序号)
答案　②
解析　①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．
8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
答案　
解析　由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为×(＋2)×＝.
9.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
10.(2020·安阳模拟)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，B1S＝，则AT＝________.

答案　
解析　设AT＝x，则A1T＝1－x，
由面面平行的性质可知PO∥SR，TO∥QR，TS∥PQ，
∴△DOP∽△B1RS，
∵DP＝OD＝1，∴B1S＝B1R＝，
∴A1S＝C1R＝，
由△ATO∽△C1QR，可得＝ ，
即＝ ，故C1Q＝，
由△A1TS∽△CQP，可得＝ ，
即＝ ，解得x＝.
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明　(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，

易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.
又易证得MC1∥BF，∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，
则OE∥DC，且OE＝DC，
又D1G∥DC且D1G＝DC，∴OE∥D1G且OE＝D1G，
∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.
又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知BF∥HD1，
∵BF⊄平面B1D1H，HD1⊂平面B1D1H，
∴BF∥平面B1D1H，
又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1H，
又BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
12.(2019·烟台模拟)如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.

(1)求证：平面BCE∥平面ADF；
(2)若平面ABCD⊥平面AEBF，AF＝1，BC＝2，求三棱锥A－CEF的体积．
(1)证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，
∴BE∥平面ADF，
∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF.
(2)解　∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面AEBF＝AB，
∴BC⊥平面AEBF，
在等腰Rt△ABF中，∵AF＝1，∴AB＝，
∴AE＝AB＝，
∴S△AEF＝AF·AE·sin 135°＝×1××＝.
∴V三棱锥A－CEF＝V三棱锥C－AEF＝S△AEF·BC＝××2＝.

13．(2019·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件是________．
①⇒l∥α；
②⇒l∥α；
③⇒l∥α.
答案　l⊄α
解析　①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α；
②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；
③l⊥m，m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α.
14.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.
证明　(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，且BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.

15.(2019·柳州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论错误的是(　　)

A．当＝3时，D1P∥平面BDC1
B．当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D的外接球表面为π
C．AP＋PD1的最小值为
D．当A1P＝时，A1P⊥平面D1AP
答案　C
解析　对于A，连接AB1，AD1，

则＝××1＝，＝×××sin 60°＝，A1C＝，
设A1到平面AB1D1的距离为h，则××h＝，
解得h＝，∴h＝A1C.
∴当＝3时，P为A1C与平面AB1D1的交点．
∵平面AB1D1∥平面BDC1，D1P⊂平面AB1D1，
∴D1P∥平面BDC1，故A正确．
又由以上分析可得，当A1P＝时，A1P即为三棱锥A1－D1AP的高，∴A1P⊥平面D1AP，所以D正确．
对于B，当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D为正四棱锥，设平面AA1D1D的中心为O，四棱锥P－AA1D1D的外接球半径为R，
所以2＋2＝R2，解得R＝，
故四棱锥P－AA1D1D的外接球表面积为π，所以B正确．
对于C，连接AC，D1C，则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，
∴AP＝D1P，
由等面积法得AP的最小值为＝＝，
∴AP＋PD1的最小值为，所以C不正确．
故选C.
16. (2019·栖霞模拟)如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则该四边形EFGH面积的最大值为________．

答案　
解析　因为直线AB∥平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，
所以HG∥AB，同理EF∥AB, GF∥CD，EH∥CD，
所以EF∥HG，EH∥FG，
所以四边形EFGH为平行四边形，
又AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，

取AB的中点P，连接PD，PC，
则AB⊥PD，AB⊥PC，PD∩PC＝P，
所以AB⊥平面PCD，所以AB⊥CD，
所以FG⊥HG，所以四边形EFGH为矩形．
设BF∶BD＝BG∶BC＝FG∶CD＝x,0≤x≤1，FG＝3x，HG＝3(1－x)，
S四边形EFGH＝FG×HG＝9x(1－x)
＝9 ，
当x＝时，有最大值.