2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第八章8.4直线、平面垂直的判定与性质

§8.4　直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.



1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示　垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示　垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)
(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　×　)
(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　)
题组二　教材改编
2．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案　D
解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．
3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
　　
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，
即O为△ABC的垂心．
题组三　易错自纠
4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；
若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)

A．与AC，MN均垂直
B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直
D．与AC，MN均不垂直
答案　A
解析　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，
又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1B1，
因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2，
则OM＝＝，MN＝＝，
ON＝＝，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN∥AB
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45°
D．OC⊥平面VAC
答案　B
解析　由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.

直线与平面垂直的判定与性质
例1　(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
(1)证明　由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)解　由(1)知∠BEB1＝90°.

由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，
则EF⊥平面BB1C1C，
且EF＝AB＝3.
所以四棱锥E－BB1C1C的体积
V＝×3×6×3＝18.

思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.

证明　因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，
所以AD⊥B1B.
因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥平面B1BCC1.
因为B1F⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥B1F.
方法一　在矩形B1BCC1中，
因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，
所以∠CFD＝∠C1B1F，
所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，
所以B1F⊥平面ADF.
方法二　在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，
所以B1D＝＝.
在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，
所以B1F＝＝.
在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，
所以DF＝＝.
显然DF2＋B1F2＝B1D2，
所以∠B1FD＝90°.所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，
所以B1F⊥平面ADF.
平面与平面垂直的判定与性质
例2　(2020·栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，FA⊥平面ABCD，ED∥FA，且AB＝FA＝2ED＝2.

(1)求证：平面FAC⊥平面EFC；
(2)求多面体ABCDEF的体积．
(1)证明　连接BD交AC于O，设FC中点为P，连接OP，EP，

∵O，P分别为AC，FC的中点，
∴OP∥FA，且OP＝FA，
∴OP∥ED且OP＝ED，
∴四边形OPED为平行四边形，
∴OD∥EP，即BD∥EP，
∵FA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵FA∩AC＝A，FA，AC⊂平面FAC，
∴BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，
又EP⊂平面EFC，∴平面FAC⊥平面EFC.
(2)解　VF－ABC＝S△ABC·FA＝××4×2＝，
∵FA⊥平面ABCD，FA⊂平面ADEF，
∴平面ADEF⊥平面ABCD，作CG⊥AD于点G，
又平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴CG⊥平面ADEF，
∴C到平面ADEF的距离CG＝CD＝，
∴VC－ADEF＝××＝，
∴VABCDEF＝VF－ABC＋VC－ADEF＝.
思维升华　(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
跟踪训练2　(2019·河南省八市重点高中联盟“领军考试”测评)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°.

(1)求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；
(2)若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A－BCC1B1的体积．
(1)证明　∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1C，
∵B1C1∥BC，∴A1C⊥B1C1，
∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，
∴四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，
∵AC1∩B1C1＝C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，
∴A1C⊥平面AB1C1，
又A1C⊂平面A1B1C，∴平面AB1C1⊥平面A1B1C.
(2)解　∵四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AC＝2，
∴＝×2×2×sin 120°＝，
∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，BC⊥平面ACC1A1，BC＝1，
∴＝××B1C1＝××1＝，
∴＝＝＝，
即四棱锥A－BCC1B1的体积为.
垂直关系的综合应用
例3　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
(1)证明　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC是直角三角形．
(2)解　如图，过A作AH⊥PC于H，

∵BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AH，
又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角，
∵tan∠PCA＝＝，
又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC中，AH＝＝，
∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
思维升华　(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解．
跟踪训练3　如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是(　　)

①A′C⊥BD；
②∠BA′C＝90°；
③CA′与平面A′BD所成的角为30°；
④四面体A′－BCD的体积为.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　∵AB＝AD＝CD＝1，BD＝，∴AB⊥AD，
∵平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，
取BD的中点O，连接OA′(图略)，
∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD.
又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，A′O⊂平面A′BD，
∴A′O⊥平面BCD.BD⊥CD，∴OC不垂直于BD.
假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，
∴OC⊥BD，矛盾，故①错误；
∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B.
∵A′B＝A′D＝1，BD＝，
∴A′B⊥A′D，又CD∩A′D＝D，CD，A′D⊂平面A′CD，
∴A′B⊥平面A′CD，又A′C⊂平面A′CD，
∴A′B⊥A′C，故②正确；
∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，故③错误；
VA′－BCD＝VC－A′BD＝S△A′BD·CD＝，故④错误．
故选B.


1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
答案　C
解析　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.
2．(2019·宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥m，则必有α∥β
B．若l⊥m，则必有α⊥β
C．若l⊥β，则必有α⊥β
D．若α⊥β，则必有m⊥α
答案　C
解析　对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；
对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；
对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确；
对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．
3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．

因为底面边长为，
所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.
三棱柱的体积为×()2AA1＝，
解得AA1＝，即OP＝AA1＝，
所以tan∠PAO＝＝，
因为直线与平面所成角的范围是，
所以∠PAO＝.
4．(2019·昆明适应性检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(　　)
A．MN∥C1D1 B．MN⊥B1C
C．MN⊥平面ACD1 D．MN⊥平面ACC1
答案　D
解析　如图所示，连接C1D交CD1于N，连接BD，

∵在△BDC1中，M，N分别为BC1，C1D的中点，∴MN∥BD，
∵BD与CD相交，∴BD不与C1D1平行，
∴MN不与C1D1平行，故A不正确；
易知△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°，
∴B1D1与B1C所成的角为60°，
又BD∥B1D1，且MN∥BD，
∴MN与B1C所成的角为60°，故B不正确；
同理MN与CD1所成的角为60°.
∵MN不与CD1垂直，∴MN不垂直于平面ACD1，故C不正确；
易证BD⊥平面ACC1A1，∴MN⊥平面ACC1A1，故D正确．
5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有(　　)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　C
解析　由题意，因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥DC，PD⊥BC，
又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，
所以四面体P－DBC是一个鳖臑，
因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，
因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，
可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，
同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑，
故选C.
6．(2020·淄博模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为(　　)
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段
D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段
答案　A
解析　如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BD1⊥平面ACB1，

因为AP⊥BD1，所以AP⊂平面ACB1，
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
∴故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.故选A.
7．(2019·贵州省凯里市第一中学模拟)已知直线a，b表示两条不同的直线，α表示一个平面，有下列几个命题：
①若在直线a上存在不同的两点到α的距离相等，则a∥α；
②若a⊥b，b∥α，则a⊥α；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；
④若a与α所成的角和b与α所成的角相等，则a∥b；
⑤若a∥b，b⊥α，则a⊥α.
其中正确命题的序号是________．
答案　⑤
解析　①中a与α可以相交；

②中a可能在平面α内或a∥α；
③中a与b可以平行，也可以异面；
④中a与b可以平行，也可以异面、相交；
⑤正确．

8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．

答案　AB
解析　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．

答案　
解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
10．(2019·新乡模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为________．
答案　
解析　设AB＝6，

则AF＝3，DE＝2.
由面面平行的性质知BF∥GE，
则＝，即＝，
则DG＝1，D1G＝5.
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
所以B1G与平面ABCD所成角即为B1G与平面A1B1C1D1所成角，
因为GD1⊥平面A1B1C1D1，
所以∠D1B1G即为B1G与平面ABCD所成的角．
在Rt△B1D1G中，tan∠D1B1G＝＝＝，
所以B1G与平面ABCD所成角的正切值为.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.

(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
证明　(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，
所以AB∥平面PDC，
又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形，
所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，
所以AB⊥AF.
由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.

(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．
(1)证明　因为AB＝BC，AD＝CD，
所以BD垂直平分线段AC.
又∠ADC＝120°，所以MD＝AD＝，AM＝.
所以AC＝.
又AB＝BC＝，所以△ABC是等边三角形，
所以BM＝，所以＝3，
又因为PN＝PB，所以＝＝3，
所以MN∥PD.
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
(2)解　因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥PA，
又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
由(1)知MN∥PD，
所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故∠DPM即为所求的角．
在Rt△PAD中，PD＝2，
所以sin∠DPM＝＝＝，
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.

13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
答案　B
解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，
∴AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，
∴EF⊥平面HAG，
又EF⊂平面AEF，
∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；
由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.
14.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．

(1)求证：FM∥平面BDE；
(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．
(1)证明　取BD的中点O，

连接OM，OE，
因为O，M分别为BD，BC的中点，
所以OM∥CD，且OM＝CD.
因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，
又EF∥AB，所以CD∥EF，
又AB＝CD＝2EF，
所以EF＝CD，
所以OM∥EF，且OM＝EF，
所以四边形OMFE为平行四边形，
所以MF∥OE.
又OE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，
所以MF∥平面BDE.
(2)解　由(1)得FM∥平面BDE，

所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离．
取AD的中点H，连接EH，BH，
因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，
所以EH⊥AD，BH⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，
所以EH⊥平面ABCD，
因为BH⊂平面ABCD，所以EH⊥BH，
因为EH＝BH＝，所以BE＝，
所以S△BDE＝××＝.
设点F到平面BDE的距离为h，
连接DM，则S△BDM＝S△BCD＝××4＝，
连接EM，由V三棱锥E－BDM＝V三棱锥M－BDE，
得××＝×h×，
解得h＝，
即点F到平面BDE的距离为.

15．(2019·河北省衡水中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点(异于点B，C)，则关于该几何体的说法正确的是(　　)

A．BE⊥AC B．DE⊥AE
C．CE⊥平面ABE D．BD⊥平面ACE
答案　C
解析　由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若BE⊥AC，因为BE⊥AB，AB∩AC＝A，所以BE⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以BE⊥BC，与BE⊥CE矛盾，所以A不正确；因为DE2＋AE2＝22＋CE2＋22＋BE2＝12≠AD2，因此∠AED≠90°，即DE与AE不垂直，所以B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BE⊥CE，又因为CE⊥AB，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE，所以C正确；假设BD⊥平面ACE，则BD⊥CE，又CE⊥DC，BD∩DC＝D，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BC，与∠CEB＝90°矛盾，所以D不正确．故选C.

16.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD.
答案　①②
解析　由已知，在未折叠的原梯形中，

易知四边形ABCE为矩形，
所以AB＝EC，所以AB＝DE，
又AB∥DE，
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE＝AD，折叠后如图所示．
①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.
因为M，N分别是AD，BE的中点，
所以点P为AE的中点，故NP∥EC.
又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，
所以平面MNP∥平面DEC，
故MN∥平面DEC，①正确；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，
所以AE⊥MP，AE⊥NP，
又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，
又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；
③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，
从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，
与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；
④当EC⊥ED时，EC⊥AD.
因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，
所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，
所以EC⊥AD，④不正确．