2021高考数学一轮复习学案：第七章7.5空间向量及其应用


§7.5　空间向量及其应用

1．空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量


2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角余弦
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝

5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
(2)平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
(3)
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0

概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示　不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．
2．零向量能作为基向量吗？
提示　不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)
题组二　教材改编
2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.


题组三　易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案　B
解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，
∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.
答案　
解析　∵P，A，B，C四点共面，
∴＋＋t＝1，∴t＝.
6．设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
答案　α⊥β　α∥β
解析　当v＝(3，－2,2)时，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v，所以α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________，以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
答案　120°　60°
解析　由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.
空间向量的线性运算
例1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；
(2)；
(3)＋.
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋
＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
思维升华　用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
跟踪训练1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________________.

答案　＋＋
解析　∵＝＝(＋)，
∴＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
答案　B
解析　＝＋＝(－)＋
＝－＋(－)＝＋－
＝(a＋b－c)．
共线定理、共面定理的应用
例2　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明　(1)连结BG，

则＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－
＝－
＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
思维升华　证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P
＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t
对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x)
对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)

跟踪训练2　如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解　(1)∵＝k，＝k，
∴＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(＋)＋
＝k＋＝－k
＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，
MN在平面ABB1A1内，
当0 又由(1)知与，共面，
∴MN∥平面ABB1A1.
综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；
当0 空间向量数量积及其应用
例3　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．

(1)求证：EG⊥AB；
(2)求EG的长；
(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
由题意知＝(＋－)＝(b＋c－a)，
所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
(2)解　由题意知＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，
则||＝，即EG的长为.
(3)解　＝(＋)＝b＋c，
＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝
＝
＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
思维升华　(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．
(3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
跟踪训练3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
解　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
即与夹角的余弦值为.
向量法证明平行、垂直
例4　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：

(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.

证明　以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
则即
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.
又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.
(2)方法一　由(1)知，＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)，
设平面PAB的一个法向量m＝(x0，y0，z0)，
则即
令x0＝1，得m＝(1,0，)，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)，
∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，∴m⊥n，
∴平面PAB⊥平面PAD.
方法二　如图，取AP的中点E，连结BE，
则E(，2,1)，＝(－，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.
思维升华　(1)用向量证明平行的方法
①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量．
②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量．
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直．
②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．
③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直．
跟踪训练4　如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：

(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.
证明　由二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面BAC.
又∵AB＝AC，BC＝AB，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°且CA⊥AB，
∴AB，AC，AA1两两互相垂直．
以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

设AB＝2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0，2,2)．
(1)＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，
设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，
则即
即取y＝1，则n＝(0,1,0)．
∴＝2n，即∥n，
∴A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，
设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．
∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴⊥m.
又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.