2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.2两条直线的位置关系

§9.2　两条直线的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.



1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
概念方法微思考
1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示　当两条直线l1与l2的斜率都存在时，＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.
2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示　(1)将方程化为最简的一般形式.
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　√　)
题组二　教材改编
2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案　C
解析　由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
3.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案　1
解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
答案　－9
解析　由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三　易错自纠
5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案　C
解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，
则有＝≠，
故m＝2或－3.故选C.
6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.
答案　
解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.

两条直线的平行与垂直
例1　(2019·包头模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A.－1 B.2
C.0或－2 D.－1或2
答案　D
解析　方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在.
又∵l1∥l2，
∴＝－，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等.
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行.
方法二　由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
本例中，若l1⊥l2，则a＝________.
答案　
解析　方法一　×＝－1，
解得a＝.
方法二　由A1A2＋B1B2＝0得(a－1)×1＋2a＝0.
解得a＝.
思维升华　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1　(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A.－ B.0
C.－或0 D.2
答案　C
解析　若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则a＝________.
答案　
解析　由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0，
解得a＝.
两直线的交点与距离问题
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案　
解析　由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－ 2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
思维升华　(1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
对称问题
命题点1　点关于点中心对称
例2　过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.
答案　x＋4y－4＝0
解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

命题点2　点关于直线对称
例3　如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A.3 B.6
C.2 D.2
答案　C
解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.

命题点3　直线关于直线的对称问题
例4　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.
答案　x－2y＋3＝0
解析　设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华　解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，
则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练2　(1)坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)
A. B.　C. D.
答案　A
解析　设对称点的坐标为(x0，y0)，则
解得即所求点的坐标是.
(2)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)
A.a＝，b＝6
B.a＝－3，b＝
C.a＝3，b＝－
D.a＝－，b＝－6
答案　D
解析　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，
所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，
所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，
所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，
所以6a＋2＝0，所以a＝－.
(3)直线l：x－y－2＝0关于直线3x－y＋3＝0对称的直线方程是________.
答案　7x＋y＋22＝0
解析　由得
∴两直线的交点为M ，该点也在所求直线上，
在l上任取一点P(0，－2)，
设它关于直线3x－y＋3＝0的对称点为Q(x0，y0)，
则有
解得∴Q(－3，－1)且在所求直线上.
∴kMQ＝＝－7，
∴所求直线方程为y＋1＝－7(x＋3)，即7x＋y＋22＝0.

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.
一、平行直线系
例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程.
解题方法　因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1).
解　由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.
例2　求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解题方法　依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.
解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
例3　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为________.
解题方法　可分别求出直线l1与l2的交点及所求直线的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；还可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.
答案　4x－3y＋9＝0
解析　方法一　由方程组解得
即两直线的交点坐标为，
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0.
方法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得两直线交点坐标为，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
方法三　由题意可设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.


1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直　C.相交但不垂直 D.不能确定
答案　C
解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
2.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，
∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件.
3.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)
A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7
答案　D
解析　过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
4.若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由log6m＝－1得m＝，若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件.故选A.
5.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A.－12 B.－2 C.0 D.10
答案　A
解析　由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2).
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.
6.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)
A. B.4　C. D.2
答案　C
解析　∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，
∴＝≠，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝.
7.点M(－1，0)关于直线x＋2y－1＝0的对称点M′的坐标是________.
答案　
解析　过点M(－1，0)与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为2x－y＝－2，可解得两垂直直线的交点坐标为N ，则点M(－1，0)关于点N 的对称点坐标为M′.
8.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是______________.
答案　3x＋4y＋5＝0
解析　在所求直线上任取一点P(x，y)，
则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
9.(2020·唐山模拟)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.
答案　－或－
解析　由点到直线的距离公式
得＝，
解得a＝－或－.
10.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为______________.
答案　6x－y－6＝0
解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
11.设一直线l经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程.
解　方法一　设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点为C(xC，yC)，D(xD，yD)，则
⇒∴C(1，0).
⇒∴D.
则C，D的中点M为.
又l过点(－1，1)，由两点式得l的方程为＝，
即2x＋7y－5＝0为所求方程.
方法二　∵与l1，l2平行且与它们的距离相等的直线方程为x＋2y＋＝0，即x＋2y－2＝0.
由得M .(以下同方法一)
方法三　过中点且与两直线平行的直线方程为x＋2y－2＝0，
设所求方程为(x－y－1)＋λ(x＋2y－2)＝0，
∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，
∴λ＝－3，代入所设得2x＋7y－5＝0.
方法四　设所求直线与两平行线l1，l2的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⇒(x1＋x2)＋2(y1＋y2)－4＝0.
又A，B的中点在直线x－y－1＝0上，∴－－1＝0.
解得(以下同方法一)
12.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
(1)解　显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，
故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明　过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立.

13.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.2
答案　A
解析　联立解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号.
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
14.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
答案　
解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是解得故m＋n＝.

15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0
C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
答案　B
解析　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，
故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0.
16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求|PA|＋|PB|的最小值.
解　设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.

在△A1PB中，|PA1|＋|PB|＞|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知，解得
∴A1(0，3).
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝.