2021高三统考北师大版数学一轮学案：选修4－4第2讲参数方程

第2讲　参数方程

基础知识整合

1．参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．

2．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程

1．参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．

2．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．

1．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)

A．70°  B．20°

C．160°  D．110°

答案　B

解析　∵x＝1＋tsin70°＝1＋tcos20°，y＝2＋tcos70°＝2＋tsin20°，∴直线的倾斜角为20°.

2．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为(　　)

A．  B．－

C．  D．－

答案　D

解析　∵∴y－2＝－3·，即y＝－x＋，故直线的斜率为－.

3．(2019·北京高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则点(1,0)到直线l的距离是(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　D

解析　由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离d＝＝.故选D.

4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)

A．  B．2

C．  D．2

答案　D

解析　由题意，得直线l的普通方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线l的距离d＝，设圆C的半径为r，则弦长＝2＝2.

5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．

答案　3

解析　由题意，知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为＋＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意，知0＝3－a，所以a＝3.

6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案　2

解析　因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由消去t，得y2－x2＝4.

由解得或

不妨令A，B，

由两点间的距离公式，得

|AB|＝＝2.

核心考向突破

考向一　参数方程与普通方程的互化

例1　(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

解　(1)因为－1<≤1，

且x2＋2＝2＋＝1，

所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，

l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.

(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．

C上的点到l的距离为

＝.

当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，

故C上的点到l距离的最小值为.

(1)消去参数的方法一般有三种：

①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；

②利用三角恒等式消去参数；

③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数．

(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致．

[即时训练]　1.(2019·海口模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C的参数方程是(α是参数)．

(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；

(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

解　(1)因为ρsin＝，

所以ρ＝3，即ρsinθ＋ρcosθ－3＝0，

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得

直线l的直角坐标方程是x＋y－3＝0.

由得

所以曲线C的普通方程是x2＋(y－2)2＝1.

(2)由(1)，得曲线C是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，

又圆心(0,2)到直线l的距离d＝＝，

所以直线l与曲线C相交，故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.

考向二　直线的参数方程

例2　(1)(2019·福建福州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为.

①求C的直角坐标方程和P的直角坐标；

②设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.

解　①由ρ2＝，得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入上式并整理，得曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，设点P的直角坐标为(x，y)，因为P的极坐标为，所以x＝ρcosθ＝cos＝1，y＝ρsinθ＝sin＝1，所以点P的直角坐标为(1,1)．

②将代入＋y2＝1，并整理，得41t2＋110t＋25＝0，

因为Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－，依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝＝.

(2)(2019·兰州二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝.

①若l与C相交于A，B两点，P(－2,0)，求|PA|·|PB|；

②圆M的圆心在极轴上且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．

解　①由ρ＝，得x2＋y2＝10，

将代入x2＋y2＝10，得t2－2t－6＝0，

则t1t2＝－6，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝6.

②直线l的普通方程为x－y＋2＝0，

设圆M的方程为(x－a)2＋y2＝a2(a>0)．

圆心(a,0)到直线l的距离为d＝，

因为2＝1，所以d2＝a2－＝，

解得a＝13(a＝－1<0舍去)，所以圆M的半径为13.

直线方程中参数t的几何意义的应用

经过点P(x0，y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t0＝；

(2)|PM|＝|t0|＝；

(3)|AB|＝|t1－t2|＝|t2－t1|；

(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

[即时训练]　2.(2019·成都一诊)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

解　(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为x－y－1＝0.

曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρ，

即ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋2x，

故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2，得2＋2＝2，

化简，得t2－(1＋2)t＋3＝0.

∵Δ＞0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.

由根与系数的关系，得t1＋t2＝2＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．

由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2＋1.

3．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C的极坐标方程；

(2)设点M(2,1)，直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|·|MB|的值．

解　(1)由曲线C的参数方程为(θ为参数)，得C的普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，

所以C的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－6ρsinθ＋21＝0.

(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，

将代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，得

t2－(＋1)t＋1＝0，所以t1t2＝1，

直线l：(t为参数)可化为

所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.

考向三　极坐标方程与参数方程的综合

例3　(1)(2019·河北唐山一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.

①求l和C的直角坐标方程；

②若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α.

解　①当α＝时，l：x＝1，

当α≠时，l：y＝tanα(x－1)．

由ρsin2θ＝4cosθ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以C的直角坐标方程为y2＝4x.

②将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得

(sin2α)t2－(4cosα)t－4＝0，

则t1＋t2＝，t1t2＝－，

因为|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，

所以sinα＝或－，

因为0<α<π，所以sinα＝，故α＝或.

(2)(2019·济南模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.

①求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

②射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．

解　①由得

所以x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3，

所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.

由ρsin＝2，可得ρ＝2，

所以ρsinθ＋ρcosθ－2＝0，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

②解法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，

所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0.

由题意设A，B，

将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，可得ρ－ρ1－2＝0，

所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)，

将θ＝代入ρsin＝2，可得ρ2＝4，

所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.

解法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝，

所以射线OP的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，

由解得A(，1)，

由解得B(2，2)，

所以|AB|＝ ＝2.

解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．

[即时训练]　4.(2019·武汉市高三第二次诊断性考试)在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin＝，l与x轴交于点M.

(1)求l的直角坐标方程，点M的极坐标；

(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值．

解　(1)由2ρsin＝，得

ρsinθ－ρcosθ＝，

将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入，得y＝x＋，

∴l的直角坐标方程为y＝x＋.

令y＝0，得点M的直角坐标为(－1,0)，

∴点M的极坐标为(1，π)．

(2)由(1)，知l的倾斜角为，

参数方程为(t为参数)，代入y2＝2px，得3t2－4pt＋8p＝0，

∴t1＋t2＝，t1t2＝.

∵|AB|2＝|MB|·|MA|，

∴(t1－t2)2＝t1t2，∴(t1＋t2)2＝5t1t2.

∴2＝5×，∴p＝.

5．(2019·许昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos＝.

(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

解　(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.

因为曲线C的参数方程为(α为参数，t>0)，

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，

由消去x，得

(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，

所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，

又t>0，所以0<t<，故t的取值范围为(0，)．

(2)由(1)，知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

故曲线C上的点(tcosα，sinα)到l的距离

d＝，

故d的最大值为，

由题设，得＝＋，解得t＝±.

又t>0，所以t＝.

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