2021高三统考北师大版数学一轮学案：选修4－5第1讲绝对值不等式

选修4－5 不等式选讲
第1讲　绝对值不等式
基础知识整合

1．绝对值不等式的解法
(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．
(2)形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
①绝对值不等式|x|>a与|x| 不等式
a>0
a＝0
a<0
|x| {x|－a ∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x≠0}
R
②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
2．绝对值不等式的应用
(1)定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.

1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．
2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．

1．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
答案　D
解析　原不等式等价于或
或即或或解得x≤－3或x∈∅或x≥2，所以x≤－3或x≥2.
2．若不等式|a－2x|≤x＋3对任意x∈[0,2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．[－1,3]
C．(1,3) D．[1,3]
答案　B
解析　由题意可得当x∈[0,2]时，f(x)＝|a－2x|的图象恒在直线y＝x＋3的下方或在直线y＝x＋3上，如图，

所以得①或②
由①可得－1≤a<0，由②可得0≤a≤3，故实数a的取值范围是[－1,3]．
3．若关于x的不等式|x－m|＋|x＋2|<4的解集不为∅，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,6)
B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(－∞，－6)∪(2，＋∞)
D．(－6,2)
答案　D
解析　关于x的不等式|x－m|＋|x＋2|＜4的解集不为∅⇔(|x－m|＋|x＋2|)min＜4，∵|x－m|＋|x＋2|≥|(x－m)－(x＋2)|＝|m＋2|，∴|m＋2|＜4，解得－6＜m＜2，故选D.
4．若不等式|x＋1|－|2－x| A．(－∞，3) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)
答案　C
解析　由绝对值不等式的性质，得||x＋1|－|2－x||≤|(x＋1)＋(2－x)|＝3，即|x＋1|－|2－x|≥－3，因为|x＋1|－|2－x| 5．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
答案　D
解析　由题意，得
⇒⇒
得所求不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．
6．不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集为________．
答案　
解析　①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，所以x<－3.
②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，所以－3≤x<－.
③当x≥时，原不等式化为x＋3＋1－2x<＋1，解得x>2，所以x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
核心考向突破
考向一　绝对值不等式的解法
例1　(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．
①当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
②若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．
解　①当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．
当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．
②因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)·(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)(2019·河南八市压轴)已知函数f(x)＝|2x＋3|－|x－a|(a∈R)．
①当a＝1时，解不等式f(x)≥2；
②若关于x的不等式f(x)≥|x－3|的解集包含[3,5]，求a的取值范围．
解　①当a＝1时，不等式f(x)≥2，
即|2x＋3|－|x－1|≥2，
所以或或
解得x≤－6或x≥0，
所以不等式f(x)≥2的解集为(－∞，－6]∪[0，＋∞)．
②关于x的不等式f(x)≥|x－3|的解集包含[3,5]，
即|2x＋3|－|x－3|≥|x－a|在[3,5]上恒成立，
即x＋6≥|x－a|在[3,5]上恒成立，
即－6≤a≤2x＋6在x∈[3,5]上恒成立，
解得－6≤a≤12，所以a的取值范围是[－6,12]．


(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体．
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
[即时训练]　1.(2019·湖北恩施质检)已知函数f(x)＝|x＋m|＋2|x－1|.
(1)当m＝2时，求不等式f(x)≤8的解集；
(2)若不等式f(x＋1)<3的解集为∅，求正数m的取值范围．
解　(1)当m＝2时，f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|＝
当x<－2时，由－3x≤8，得x≥－，即－≤x<－2；当－2≤x≤1时，由－x＋4≤8，得x≥－4，即－2≤x≤1；当x>1时，由3x≤8，得x≤，即1 (2)由f(x＋1)<3，得|x＋1＋m|＋2|x|<3，
令g(x) ＝|x＋1＋m|＋2|x|
＝
若不等式f(x＋1)<3的解集为∅，
则不等式f(x＋1)≥3的解集为R，
即g(x)min＝g(0)＝1＋m≥3，解得m≥2.
所以正数m的取值范围为[2，＋∞)．
2．(2020·广东佛山1月质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋x，a∈R.
(1)若f(1)＋f(2)>5，求a的取值范围；
(2)若a，b∈N*，关于x的不等式f(x) 解　(1)由f(1)＋f(2)>5，得|1－a|＋|2－a|>2，
当a≥2时，a－1＋a－2>2，解得a>，
当1≤a<2时，a－1＋2－a>2，不等式无解，
当a≤1时，1－a＋2－a>2，解得a<，
综上所述，a的取值范围为∪.
(2)因为f(x) 当x≥a时，x－a＋x 当x 因为不等式f(x) 又因为a，b∈N*，所以a＝1，b＝2.
考向二　绝对值三角不等式的应用
例2　(1)(2019·漳州二模)已知f(x)＝|x＋a|(a∈R)．
①若f(x)≥|2x－1|的解集为[0,2]，求a的值；
②若对任意x∈R，不等式f(x)＋|x－a|≥3a－2恒成立，求实数a的取值范围．
解　①不等式f(x)≥|2x－1|，即|x＋a|≥|2x－1|，
两边平方整理，得3x2－(2a＋4)x＋1－a2≤0，
由题意，知0和2是方程3x2－(2a＋4)x＋1－a2＝0的两个实数根，
即解得a＝1.
②因为f(x)＋|x－a|＝|x＋a|＋|x－a|≥|(x＋a)－(x－a)|＝2|a|，
所以要使不等式f(x)＋|x－a|≥3a－2恒成立，只需2|a|≥3a－2，
当a≥0时，2a≥3a－2，解得a≤2，即0≤a≤2；
当a<0时，－2a≥3a－2，解得a≤，即a<0.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2]．
(2)(2019·长沙一模)已知函数f(x)＝x|x－a|，a∈R.
①当f(1)＋f(－1)>1时，求实数a的取值范围；
②若a>0，∀x，y∈(－∞，a]，不等式f(x)≤|y＋|＋|y－a|恒成立，求实数a的取值范围．
解　①f(1)＋f(－1)＝|1－a|－|1＋a|>1，
若a≤－1，则1－a＋1＋a>1，得2>1，即a≤－1；
若－11，得a<－，
即－1 若a≥1，则－(1－a)－(1＋a)>1，得－2>1，此时不等式无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
②由题意，知要使不等式恒成立，
只需f(x)max≤min.
当x∈(－∞，a]时，f(x)＝－x2＋ax，f(x)max＝f＝.
因为|y＋|＋|y－a|≥|a＋|，当且仅当·(y－a)≤0，即－≤y≤a时等号成立，
所以当y∈(－∞，a]时，
min＝|a＋|＝a＋.
于是≤a＋，解得－1≤a≤5.
又a>0，所以实数a的取值范围是(0,5]．

两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
[即时训练]　3.(2019·江西上饶模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式g(x)≥4；
(2)若对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解　(1)由|x－1|＋2≥4，得|x－1|≥2，
解得x≤－1或x≥3.
故不等式g(x)≥4的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
(2)因为对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝g(x)}⊆{y|y＝f(x)}．
又因为g(x)＝|x－1|＋2≥2，f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|≥|(2x＋a)－(2x－1)|＝|a＋1|，
所以|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为[－3,1]．
4．(2019·湖南怀化质检)设f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≤3；
(2)若不等式m|x|≤f(x)恒成立，求m的取值范围．
解　(1)当x<－1时，f(x)＝－(2x－1)－(x＋1)＝－3x≤3，解得x≥－1，故此情况无解；
当－1≤x≤时，f(x)＝－(2x－1)＋(x＋1)＝－x＋2≤3，解得x≥－1，故－1≤x≤；
当x>时，f(x)＝(2x－1)＋(x＋1)＝3x≤3，解得x≤1，故 综上所述，满足f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．
(2)当x＝0时，可知∀m∈R，不等式均成立；
当x≠0时，由已知可得m≤恒成立，即m≤的最小值．
＝＝|2－|＋|1＋|≥|＋|＝3，当x≤－1或x≥时，等号成立，所以m≤3.
综上所述，使得不等式m|x|≤f(x)恒成立的m的取值范围为(－∞，3]．
考向三　绝对值不等式的综合应用
例3　(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|.
①求不等式f(x)≤3的解集；
②若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．
解　①解法一：由题意f(x)＝
当x≤时，f(x)＝－3x＋3≤3，解得x≥0，即0≤x≤，
当 当x≥2时，f(x)＝3x－3≤3，解得x≤2，即x＝2.
综上所述，原不等式的解集为[0,2]．
解法二：由题意
f(x)＝
作出f(x)的图象，如图．

注意到当x＝0或x＝2时，f(x)＝3，
结合图象，知不等式f(x)≤3的解集为[0,2]，
②解法一：不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)>ax对任意x∈R恒成立，即函数y＝ax的图象始终在函数y＝f(x)的图象的下方，如图．

当直线y＝ax过点A(2,3)以及与直线y＝－3x＋3平行时为临界点，所以－3≤a<.
解法二：不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)>ax对任意x∈R恒成立，
(ⅰ)当x≤时，f(x)＝－3x＋3>ax，即(a＋3)x－3<0恒成立，
若a＋3<0，显然不符合题意，
若a＋3＝0，即a＝－3，则－3<0恒成立，符合题意，
若a＋3>0，即a>－3，只需(a＋3)×－3<0即可，解得a<3，故－3 (ⅱ)当ax，即(a－1)x－1<0恒成立，
若a－1<0，即a<1，(a－1)x－1<0恒成立，符合题意，
若a－1＝0，即a＝1，则－1<0恒成立，符合题意，
若a－1>0，即a>1，只需(a－1)×2－1≤0即可，
解得a≤，故1 (ⅲ)当x≥2时，f(x)＝3x－3>ax，即(a－3)x＋3<0恒成立，
若a－3<0，即a<3，只需(a－3)×2＋3<0即可，
解得a<，故a<，
若a－3＝0，即a＝3，则3<0，不符合题意，
若a－3>0，即a>3，则(a－3)x＋3>0恒成立，不符合题意，所以a<.
综上所述，－3≤a＜.
(2)(2019·郑州二模)设函数f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a>0)，g(x)＝x2－x.
①当a＝1时，求不等式g(x)≥f(x)的解集；
②已知f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
解　①当a＝1时，
f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x≤－1时，x2－x≥－2x，得x≤－1；
当－1 当x≥1时，x2－x≥2x，得x≥3.
综上，原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
②f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|
＝
当0 当a>1时，f(x)min＝f＝a＋≥2，得a>1.
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．

(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
[即时训练]　5.(2019·宁德模拟)已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0 (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；
(2)若函数y＝f(x)的最小值为4，求实数a的值．
解　(1)当a＝1时，
f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝
所以f(x)≥9⇔或
或解得x≤－1或x≥5，
即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．
(2)∵01，
则f(x)＝
注意到当x<时，f(x)单调递减，当x>时，f(x)单调递增，
∴f(x)的最小值在上取得，
∵在上，当0 ∴或
解得a＝2.
6．(2019·广州二模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＞x＋1；
(2)若存在实数x，使得f(x)＜f(x＋1)成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，由f(x)＞x＋1，得|2x－1|－1＞x＋1.
当x≥时，2x－1－1＞x＋1，解得x＞3.
当x＜时，1－2x－1＞x＋1，解得x＜－.
综上可知，不等式f(x)＞x＋1的解集为.
(2)由f(x)2|2x－1|－|2x＋1|，
令g(x)＝2|2x－1|－|2x＋1|，
则问题等价于a>g(x)min.
因为||2x－1|－|2x＋1||≤|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，
即－2≤|2x－1|－|2x＋1|≤2，则|2x－1|－|2x＋1|≥－2.
所以g(x)＝|2x－1|－|2x＋1|＋|2x－1|≥－2＋|2x－1|≥－2，
当且仅当x＝时等号成立．所以g(x)min＝－2.
所以实数a的取值范围为(－2，＋∞)．