2021版高考物理大一轮复习通用版教师用书：第2章第2节　力的合成与分解

第2节　力的合成与分解

一、力的合成

1．合力与分力

(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，那几个力叫作这一个力的分力。

(2)关系：合力与分力是等效替代关系。

2．共点力

作用在一个物体上，作用线或作用线的延长线交于一点的几个力。如图所示均是共点力。

3．力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则：

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。

甲　　　　　　　　乙

二、力的分解

1．矢量、标量

(1)矢量

既有大小又有方向的物理量。运算时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。

(2)标量

只有大小没有方向的物理量。运算时按算术法则相加减。有的标量也有方向。

2．力的分解

(1)定义

求一个力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运算。

(2)遵循的原则

①平行四边形定则。

②三角形定则。

(3)分解方法

①力的效果分解法。

②正交分解法。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个力的合力一定大于任何一个分力。 (×)

(2)对力分解时必须按作用效果分解。 (×)

(3)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。 (×)

(4)合力一定时，两个分力的夹角越大，分力越大。 (√)

(5)位移、速度、加速度、力、时间均为矢量。 (×)

2．(人教版必修2P65例题改编)如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力。图中FN为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是(　　)

A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力

B．物体受到mg、FN、F1、F2共四个力的作用

C．F2是物体对斜面的压力

D．力FN、F1、F2这三个力的作用效果与mg、FN这两个力的作用效果相同

D　[F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，施力物体是地球，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力FN两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但二者的受力物体不同，F2的受力物体是物体本身，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力与分力共同作用的效果相同，故选项D正确。]

3．(人教版必修1P66T2改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并等于240 N，则另一个分力的大小为(　　)

A．60 N B．240 N

C．300 N D．420 N

[答案]　C

4．(人教版必修1P16图3.4­1改编)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是(　　)

A．当θ＝120°时，F＝G

B．不管θ为何值时，都有F＝

C．当θ＝0°时，F＝

D．θ越大，则F越小

AC　[由力的合成可知，在两分力相等，θ＝120°时，F合＝F＝G；θ＝0°时，F＝F合＝，故选项A、C正确，B错误；在合力一定时，分力间的夹角θ越大，则分力越大，故选项D错误。]

力的合成　[依题组训练]

1．合力的大小范围

(1)两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力之和。

2．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。

[题组训练]

1．关于合力与分力，下列说法正确的是(　　)

A．合力的大小一定大于每个分力的大小

B．合力的大小至少大于其中的一个分力

C．合力的大小可以比两个分力都大，也可以比两个分力都小

D．合力不可能与其中的一个分力相等

C　[任何多个共点力的合成，最终都可以转化为两个共点力的合成。因两个共点力的合力满足关系式|F1－F2|≤F≤F1＋F2，由此可知，合力的大小可能比两个分力都大，也可能比两个分力都小，还可能比一个分力大，比另一个分力小，有时还可以与其中一个分力大小相等，甚至与两个分力都相等。]

2．(多选)在探究共点力合成的实验中，得到如图所示的合力F与两力夹角θ的关系图象，则下列说法正确的是(　　)

A．2 N≤F≤14 N

B．2 N≤F≤10 N

C．两分力大小分别为2 N和8 N

D．两分力大小分别为6 N和8 N

AD　[由图可知＝10 N，F1－F2＝2 N。所以F1＝8 N，F2＝6 N，合力最大值为14 N，最小值为2 N。]

3.(多选)5个共点力的情况如图所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好构成一个正方形，F5是其对角线。下列说法正确的是(　　)

A．F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反

B．这5个共点力能合成大小为2F、相互垂直的两个力

C．除F5以外的4个力的合力的大小为F

D．这5个共点力的合力恰好为F，方向与F1和F3的合力方向相同

AD　[力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反，可得F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反，A正确；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反；又F1、F2、F3、F4恰好构成一个正方形，所以F5为F，可得除F5以外的4个力的合力的大小为2F，C错误；这5个共点力的合力大小等于F，方向与F5相反，D正确，B错误。]

力的分解　[讲典例示法]

1．力的分解常用的方法

2.力的分解方法选取原则

(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。

(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。

[典例示法]　(一题多法)如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　　)

A．  B．2  C．  D．

思路点拨：解此题要抓住以下三点：

(1)绳子上的拉力一定沿绳。

(2)“光滑钉子b”，说明bc段绳子的拉力等于重物的重力m1g。

(3)依据“ac段正好水平”画出受力分析图。

[解析]　方法一：力的效果分解法

钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝。

方法二：正交分解法

绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由几何关系得cos θ＝，

联立解得＝。

[答案]　C

力的正交分解的两点注意

(1)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。

(2)一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。

[跟进训练]

1．(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)

A．　　　B.　　　C.　　　D.F

AC　[如图所示，因F2＝F＞Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，即F1的大小分别为Fcos 30°－ΔF和Fcos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。]

2．(多选)(2018·天津高考)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　)

A．若F一定，θ大时FN大

B．若F一定，θ小时FN大

C．若θ一定，F大时FN大

D．若θ一定，F小时FN大

BC　[根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。

则＝sin

即FN＝

所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大。故选项B、C正确。]

3．(2019·陕西西安一中月考)如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，B与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　)

A．3 000 N B．2 000 N

C．1 000 N D．500 N

B　[将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，

则有2F1cos α＝F，则得F1＝F2＝，再将F1按作用效果分解为FN和F′N，如图乙所示，则有FN＝F1sin α，联立得到FN＝，根据几何知识可知tan α＝＝10，得到FN＝5F＝2 000 N，故选项B正确。]

4.如图所示，力F1、F2、F3、F4是同一平面内的共点力，其中F1＝20 N，F2＝20 N，F3＝20 N，F4＝20 N，各力之间的夹角如图所示。求这四个共点力的合力的大小和方向。

[解析]　以F2的方向为x轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系。

将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得

F1x＝F1cos 60°＝20× N＝10 N

F1y＝F1sin 60°＝20× N＝10 N

F3x＝F3cos 45°＝20× N＝20 N

F3y＝－F3sin 45°＝－20× N＝－20 N

F4x＝－F4sin 60°＝－20× N＝－30 N

F4y＝－F4cos 60°＝－20× N＝－10 N

则x轴上各分力的合力为Fx＝F1x＋F2＋F3x＋F4x＝20 N

y轴上各分力的合力为Fy＝F1y＋F3y＋F4y＝－20 N

故四个共点力的合力为F＝＝20 N，合力的方向与F3的方向一致。

[答案]　20 N　方向与F3的方向一致

　“活结”和“死结”

[示例1]　(多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是(　　)

A．弹簧的弹力为10 N

B．重物A的质量为2 kg

C．桌面对B物体的摩擦力为10 N

D．OP与竖直方向的夹角为60°

ABC　[O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos 30°可解得：FO′a＝20 N，mA＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得：F弹＝FO′asin 30°，FO′b＝FO′acos 30°，对物体B有：fB＝FO′b，联立解得：F弹＝10 N，fB＝10 N，选项A、C均正确。]

　“动杆”和“定杆”模型

[示例2]　如图甲所示，轻绳AD跨过固定在竖直墙上的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体M1，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过细绳EP拉住，EP与水平方向也成30°，轻杆的P点用细绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体M2。g取10 m/s2，求：

甲　　　　　　　　乙

(1)轻绳AC段的张力FAC与细绳EP的张力FEP之比；

(2)横梁BC对C端的支持力；

(3)轻杆HP对P端的支持力。

[解析]　分别对C点和P点受力分析如图所示。

甲　　　　　　　　乙

(1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，

绳AC段的拉力FAC＝FCD＝M1g

图乙中由FEPsin 30°＝FPQ＝M2g得

FEP＝2M2g

所以得＝＝。

(2)图甲中，根据几何关系得

FC＝FAC＝M1g＝100 N

方向和水平方向成30°角斜向右上方。

(3)图乙中，根据平衡条件有

FEPsin 30°＝M2g，FEPcos 30°＝FP

所以FP＝＝M2g≈173 N，方向水平向右。

[答案]　(1)1∶2　(2)100 N，方向与水平方向成30°角斜向右上方　(3)173 N，方向水平向右