2021版高考物理大一轮复习通用版教师用书：第5章第1节　功和功率


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考点内容
要求
高考(全国卷)三年命题情况对照分析
2017
2018
2019
命题分析
功和功率
Ⅱ
卷Ⅰ·T24：机械能、功能关系
卷Ⅱ·T14：弹力和功
T17：机械能守恒定律
T24：动能定理
卷Ⅲ·T16：重力势能、重力做功
卷Ⅰ·T18：动能定理、功能关系
卷Ⅱ·T14：动能定理
卷Ⅲ·T19：牛顿第二定律、功率、动能定理
T25：动能定理、圆周运动、动量
卷Ⅱ·T18：功能关系与图象结合
T25：动能定理、动量定理与图象结合
卷Ⅲ·T17：动能定理与图象结合
1.从题型上看，选择题、计算题均有。
2.动能定理、机械能守恒定律是历年高考考查的重点，并经常与牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动结合起来命题，命题选材背景趋于与生活实际相联系。
3.机械能常与动量综合。
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
实验五：探究动能定理

实验六：验证机械能守恒定律



第1节　功和功率


一、功
1．做功两因素
力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功
依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动中的功
依据力与速度方向的夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化时的功
功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械长时间正常工作时输出的最大功率。
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。 (×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 (√)
(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。 (×)
(4)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。 (√)
(5)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。 (√)
(6)公式P＝Fv中的F是物体受到的合外力。 (×)
2．(人教版必修2P59T1改编)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少(　　)

A　　　　　　B C　　　　　　D
[答案]　D
3．(人教版必修2P63T3改编)(多选)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是(　　)
A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率
C．由P＝Fv知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限增大
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
BD　[P＝只适用于求平均功率，P＝Fv虽是由前者推导得出，但可以用于求平均功率和瞬时功率，选项A错误，B正确；汽车运行时不能长时间超过额定功率，故随着汽车速度的增大，它的功率并不能无限制的增大，选项C错误；当功率一定时，速度越大，牵引力越小；速度越小，牵引力越大，故牵引力与速度成反比，选项D正确。]
4．(粤教版必修2P67T5)用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
C　[物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，则合力做功为零，故A、B、D错误，C正确。]

功的分析与计算　[依题组训练]
1．(2019·北京二中月考)下列叙述中正确的是(　　)
A．一对作用力和反作用力做功之和一定为零
B．静摩擦力一定不做功
C．一对滑动摩擦力所做总功不可能为零
D．一对静摩擦力所做总功可能不为零
C　[一对作用力和反作用力可能同时做正功或做负功，也可能一个做功另一个不做功，所以它们做功之和不一定为零，故A错误；静摩擦力同样能对物体做功，例如随水平传送带加速运动的物体所受的静摩擦力对物体做正功，故B错误；一对滑动摩擦力对相互作用的系统做的总功等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，不可能为零，故C正确；一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，因而做功之和为零，故D错误。]
2.(多选)如图所示，粗糙的斜面在水平恒力的作用下向左匀速运动，一物块置于斜面上并与斜面保持相对静止，下列说法中正确的是(　　)

A．斜面对物块不做功
B．斜面对地面的摩擦力做负功
C．斜面对物块的支持力做正功
D．斜面对物块的摩擦力做负功
ACD　[斜面对物块的作用力可以等效为一个力，根据平衡条件，这个力与物块的重力大小相等，方向相反，与位移方向的夹角为90°，所以不做功，选项A正确；地面受到摩擦力作用，但没有位移，所以斜面对地面的摩擦力不做功，选项B错误；斜面对物块的支持力与位移方向的夹角小于90°，做正功，而斜面对物块的摩擦力与位移方向的夹角大于90°，做负功，所以选项C、D正确。]
3.(2019·福建邵武七中期中)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A　[根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功为W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝＝m，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。]

1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法

3．合力做功的计算方法
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合外力做的功。

功率的分析与计算　[依题组训练]
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
[题组训练]
1．(2019·日照联考)汽车发动机的额定功率是60 kW，汽车的质量为2×103 kg，在平直路面上行驶，受到的阻力是车重的0.1倍。若汽车从静止出发，以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，则出发50 s时，汽车发动机的实际功率为(取g＝10 m/s2)(　　)
A．25 kW B．50 kW
C．60 kW D．75 kW
C　[汽车受到的阻力f＝0.1mg＝2 000 N，汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，由牛顿第二定律有F－f＝ma，解得F＝3 000 N；若50 s内车是匀加速运动，则v＝at＝25 m/s，所以50 s末汽车功率P＝Fv＝75 000 W＝75 kW；但汽车发动机的额定功率是60 kW，则50 s内车不是匀加速运动，而是先匀加速后变加速；故出发50 s时，汽车发动机的实际功率为60 kW，选项C正确。]
2．(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是(　　)
A．t秒内重力对物体做功为mg2t2
B．t秒内重力的平均功率为mg2t
C．秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前秒内重力做功的平均功率与后秒内重力做功的平均功率之比为1∶3
ACD　[物体自由下落，t秒内物体下落h＝gt2，Wt＝mgh＝mg2t2，故A正确；P＝＝＝mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前秒末与后秒末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前秒末与后秒末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确；前秒与后秒下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确。]
3.(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)

A．3t0时刻的瞬时功率为
B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
BD　[3t0时刻物体的瞬时速度为v＝·2t0＋·t0＝，瞬时功率为P＝3F0·v＝3F0·＝，A错误，B正确；在t＝0到3t0这段时间内，水平力做的功W＝F0···(2t0)2＋3F0＝，该过程的平均功率＝＝，C错误，D正确。]

求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。

机车启动问题　[讲典例示法]
1．两种启动方式

以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P­t图象和v­t图象


OA段过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝ (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
[典例示法]　某汽车发动机的额定功率为120 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍。(g取10 m/s2)
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到10 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
思路探究：(1)达到最大速度时，汽车处于匀速运动状态。
(2)以加速度0.5 m/s2匀加速启动时，达到匀加速的最大速度时功率达到额定功率。
[解析]　(1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力大小相等，故最大速度为
vm＝＝＝ m/s
＝24 m/s
v＝10 m/s时的牵引力
F1＝＝ N＝1.2×104 N
由F1－Ff＝ma得a＝
＝ m/s2
＝1.4 m/s2。
(2)当汽车以a′＝0.5 m/s2的加速度启动时的牵引力
F2＝ma′＋Ff＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7 500 N
匀加速运动能达到的最大速度为
v′m＝＝ m/s＝16 m/s
由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v′m＝a′t，
故匀加速过程能维持的时间
t＝＝ s＝32 s。
[答案]　(1)24 m/s　1.4 m/s2　(2)32 s

机车启动问题的三点注意
(1)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Ffvm只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。

[跟进训练]
　恒定功率启动
1．质量为m的汽车沿平直的公路行驶，在时间t内，以恒定功率P由静止开始经过距离s达到最大速度vm。已知汽车所受的阻力Ff恒定不变，则在这段时间内发动机所做的功W可用下列哪些式子计算(　　)
A．W＝Ffs　B．W＝Ffvmt C．W＝Ffvmt D．W＝mv
C　[发动机的功率恒定，经过时间t，发动机做的功为W＝Pt，汽车从静止到最大速度vm的过程中，由动能定理可知W－Ffs＝mv，故W＝mv＋Ffs，A、D错误；速度达到最大时，牵引力等于Ff，P＝Ffvm，所以W＝Ffvmt，B错误，C正确。]
　恒定加速度启动
2．(2019·芜湖模拟)一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v2匀速上升，不计钢绳重力。则整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．钢绳的最大拉力为
B．重物匀加速过程的时间为
C．重物匀加速过程的加速度为
D．速度由v1增大至v2的过程中，重物的平均速度<
B　[匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F＝，故A错误；根据牛顿第二定律可知F－mg＝ma，结合v＝at解得a＝－g，t＝，故B正确，C错误；在速度由v1增大至v2的过程中，重物做加速度减小的变加速运动，平均速度>，故D错误。]
　机车启动中的图象问题
3.(2019·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v­t图象如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是(　　)

A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
C　[由图象可知匀加速直线运动的加速度为a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得牵引力为F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误。额定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正确。当车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝＝ N＝4 000 N，此时车的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B错误。当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为vm＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D错误。]


求变力做功的几种方法
方法
以例说法
应用动能定理

用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法

质量为m的木块在水平面内做圆周运动，
运动一周克服摩擦力做功
Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝f·2πR
功率法
汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中，牵引力做功WF＝Pt
等效转换法

恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
平均力法

弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力做功W＝(x2－x1)
图象法

一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
[示例]　如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)。用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求这一过程中：

(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。
[解析]　(1)将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Flncos 37°
所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。
[答案]　(1)376.8 J　(2)－136.8 J
[即时训练]
1．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)(　　)

甲　　　　　　　　　乙
A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.0 J
A　[物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F­x图象面积表示功可知，物块运动至x＝0.4 m处时F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。]
2.如图所示，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F(恒定)，滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

[解析]　设绳对滑块的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对滑块做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W＝Fl直接计算。由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：
Δl＝l1－l2＝－
所以WT＝WF＝FΔl＝Fh。
[答案]　Fh