2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第32课__三角函数综合问题

____第32课__三角函数综合问题____

1. 能灵活运用三角函数公式进行化简、求值、求取值范围等．

2. 能综合应用函数、方程、不等式等知识解决与三角函数相关的问题.

1. 阅读：必修 4 第103～122页；必修5第5～16页．

2. 解悟：①三角函数中的同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角形的面积公式；③重解必修4第109页例3，体会辅助角公式的应用；第110页例5，体会整体代换思想；第116页例5，这是三角函数应用题中的一个重要模型，体会角的拆分与合成；第121页例3，体会降幂扩角公式．

3. 践习：在教材空白处完成必修4第109页练习第8题；第111页练习第5题；第116页练习第4、5、6题；第117页练习第5题.

　基础诊断　

1. 若α是三角形的一个内角，且sinαcosα＝，则cosα＋sinα的值为____．

解析：因为α是三角形的一个内角，且sinαcosα＝，所以α为锐角，所以cosα＋sinα＝＝.

2. 已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__－__．

解析：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，平方相加得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，所以2sin(α＋β)＝－1，sin(α＋β)＝－.

3. 已知角α，β，γ构成公差为的等差数列，若cosβ＝－，则cosα＋cosγ＝__－__．

解析：因为α，β，γ构成公差为的等差数列，所以α＝β－，γ＝β＋，所以cosα＋cosγ＝cos＋cos＝2cosβcos＝－.

4. 在锐角三角形ABC中，若tanA＝t＋1，tanB＝t－1，则实数t的取值范围是__(，＋∞)__．

解析：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝.因为△ABC为锐角三角形，所以tanA>0，tan B>0，tan C>0，即解得t>.

　范例导航　

考向❶  三角恒等变换与解三角形

例1　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.

(1) 求角B的大小；

(2) 若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．

解析：(1) 由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1

得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即cos(A＋C)＝－，所以cosB＝－cos(A＋C)＝.

又0<B<π，所以B＝.

(2) 由余弦定理得cosB＝＝，

所以＝.

又a＋c＝，b＝，

所以－2ac－3＝ac，即ac＝，

所以S△ABC＝acsinB＝××＝.

【变式1】 若本题(2)条件变为“若b＝，S△ABC＝”，求a＋c的值．

解析：由已知S△ABC＝acsinB＝，

所以ac×＝，则ac＝6.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，

所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝.

【变式2】 在本例条件下，若b＝，求△ABC面积的最大值．

解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，

所以ac≤3(当且仅当a＝c＝时取等号)，

所以S△ABC＝acsinB≤×3×sin＝.

故△ABC面积的最大值为.

在△ABC中，已知tanA＝，tanB＝.

(1) 求角C的大小；

(2) 若△ABC的最大边长为，求最小边长．

解析：(1) 因为A＋B＋C＝π，

所以tanC＝－tan(A＋B)＝－

＝－＝－1.

因为0<C<π，所以C＝.

(2) 因为C＝，

所以最大边为AB＝，

因为tanA＝<＝tanB，A，B∈，

所以A<B<C，

所以角A最小，即边BC最小．

由tanA＝，sin2A＋cos2A＝1得sinA＝，

由＝得BC＝sinA·＝，

所以最小的边长为.

【注】 本例训练三角函数基本关系、正余弦定理及两角和与差公式的简单综合运用，注意三角形基本知识的运用.

考向❷  三角函数与解三角形

　例2　已知函数f(x)＝sinωxsin－(ω>0)，且其图象的相邻对称轴间的距离为.

(1) 求f(x)在区间上的值域；

(2) 在锐角三角形ABC中，若f＝，a＝1，b＋c＝2，求△ABC的面积．

解析：(1) f(x)＝sinωx(sinωx＋cosωx)－

＝sin2ωx＋sinωxcosωx－

＝(1－cos2ωx)＋sin2ωx－

＝sin2ωx－cos2ωx

＝sin.

由条件知T＝.

又T＝，所以ω＝2，

所以f(x)＝sin.

因为x∈，

所以4x－∈，

所以sin∈，

所以f(x)的值域是[－，]．

(2) 由f＝得 A＝.由 a＝1，b＋c＝2及余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA得bc＝1，

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝.

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b2＋c2－a2＝bc.

(1) 求角A的大小；

(2) 设函数f(x)＝sincos＋cos2，当f(B)取得最大值时，判断△ABC的形状．

解析：(1) 因为在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，

所以由余弦定理可得cosA＝＝.

因为A∈(0，π)，所以A＝.

(2) f(x)＝sincos＋cos2

＝sinx＋cosx＋

＝sin＋，

所以f(B)＝sin＋.

因为B∈，所以B＋∈.

当B＋＝时，即B＝时，f(B)取最大值，此时C＝，所以△ABC是直角三角形．

【注】 本例通过辅助角公式将三角函数化同名同角进而研究三角形中三角函数性质.

考向❸  平面向量与解三角形

例3　已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cosωx，1)，其中ω>0，x∈R，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.

(1) 求ω的值；

(2) 在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sinB＝sinA，求·的值．

解析：(1) f(x)＝m·n

＝2sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx

＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin.

因为f(x)的最小正周期为π，

所以T＝＝π，所以ω＝1.

(2) 因为f(B)＝－2，

所以2sin＝－2，即sin＝－1.

因为0<B<π，所以2B＋∈，

所以2B＋＝，所以B＝.

因为BC＝，即a＝，因为sinB＝sinA，

所以b＝a＝3.

由正弦定理＝，

所以sinA＝.

因为0<A<，所以A＝，

所以C＝，c＝，

所以·＝cacosB＝－.

设△ABC的面积为S，且2S＋·＝0.

(1) 求角A的大小；

(2) 若||＝，且角B不是最小角，求S的取值范围．

解析：(1) 设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由2S＋·＝0，

得2×bcsinA＋bccosA＝0，

即sinA＋cosA＝0，tanA＝－.

又因为A∈(0，π)，所以A＝. 

(2) 因为a＝， 由正弦定理得＝＝，所以b＝2sinB，c＝2sinC，

从而S＝bcsinA＝sinBsinC

＝sinBsin

＝sinB

＝

＝sin－.

又B∈，2B＋∈，

所以S∈.

【注】 本例突出训练平面向量数量积、三角函数与正余弦定理相结合在解三角形中的综合应用．

　自测反馈　

1. 函数f(x)＝(sinx－cosx)2的最大值为__2__．

解析：f(x)＝(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝1－sin2x.因为sin2x∈[－1，1]，所以f(x)max＝2.

2. 在△ABC中，若a＝2，c＝3，tanB＝－，则b＝__4__．

解析：因为tanB＝－＝，sin2B＋cos2B＝1，解得cosB＝－.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×＝16，所以b＝4.

3. 若方程sinx＋cosx＋a＝0在(0，2π)内有相异的两解α，β，则α＋β＝__或__．

解析：因为方程sinx＋cosx＋a＝0在(0，2π)内有相异的两解α，β，所以sinα＋cosα＋a＝0，sinβ＋cosβ＋a＝0，两式相减得(sinα－sinβ)＋(cosα－cosβ)＝0，sin－sin(－)＋[cos(＋)－cos(－)]＝0，化简整理得2sincos－2sinsin＝0.又因为sin≠0，所以tan＝，所以＝kπ＋，k∈Z，则α＋β＝2kπ＋，k∈Z.因为α，β∈(0，2π)，所以α＋β＝或.

4. 已知△ABC外接圆的半径是R，C＝，则的取值范围是____．

解析：由正弦定理得＝2R，则＝＝＝2(sinA＋sinB)＝2[sinA＋sin]＝2(sinA＋·cosA)＝2sin，又因为A∈，所以A＋∈，所以2sin∈(，2]，即∈(，2]．

1. 在三角形中研究三角函数，应与正余弦定理结合，注意角的范围，特别是锐角三角形中角的范围．

2. 三角函数与向量的结合，向量的夹角问题或向量的坐标化可化为三角函数形式进行处理．

3. 你还有哪些体悟，写下来：