2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第30课__正余弦定理及其简单应用

第30课__正余弦定理及其简单应用____

1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2. 能运用正余弦定理解决三角形中的有关问题.

1. 阅读：必修5第5～17 页．

2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？你会证明吗？②正余弦定理可以解决哪些类型的斜三角形；③第10页例5中所证明的结论是一个什么定理？你会证明吗？你会使用吗？④重解第16页例5和例6，体会方法和规范．

3. 践习：在教材空白处，完成第10页练习第4、5题；第15页练习第3、4、5题；第16页练习第1、2、3题；第17页习题第5、6、10题.

　基础诊断　

1. 在△ABC中，若b＝2，A＝，B＝，则BC＝____．

解析：因为b＝2，A＝，B＝，所以由正弦定理得BC＝＝＝.

2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为____．

解析：因为a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝，A＝.又bc＝4，所以△ABC的面积为bcsinA＝.

3. 在△ABC中，已知A＝，c＝a，则△ABC的形状是__等腰三角形或直角三角形__．

解析：A＝，c＝a，所以sinC＝sinA＝.因为0<C<π，所以C＝或.当C＝时，△ABC为直角三角形，当C＝时，△ABC为等腰三角形．

4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则角C＝____．

解析：由正弦定理可得＝，所以sinCsinA＝sinAcosC.又因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以sinC＝cosC，即tanC＝1.因为C∈(0，π)，所以C＝.

　范例导航　

考向❶  直接用正、余弦定理解三角形

例1　在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1) 求cos∠ADB；

(2) 若DC＝2，求BC.

解析：(1) 在△ABD中，由正弦定理得＝.　

由题设知＝，

所以sin∠ADB＝.

由题设知0°<∠ADB<90°，

所以cos∠ADB＝＝.

(2) 由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.

在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.

(1) 求角A的大小；

(2) 求AC边上的高．

解析：(1) 在△ABC中，

因为cosB＝－，

所以B∈，

所以sinB＝＝.

由正弦定理得＝，即＝，

所以sinA＝.

因为B∈，所以A∈，所以A＝.

(2) 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinA·cosB＋sinBcosA＝×＋×＝.

如图所示，在△ABC中，

因为sinC＝，所以h＝BC·sinC＝7×＝，所以AC边上的高为.

【注】 本例主要训练解三角形时，已知两边及其一边所对的角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理. 另外，注意互余的两个角的正余弦关系.

考向❷  边角互化

例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinC＋2csinBcosA＝0.

(1) 求A大小；

(2) 若a＝2，c＝2，求△ABC面积S的大小．

解析：(1) 方法一(边化角)：

由bsinC＋2csinBcosA＝0得sinBsinC＋2sinCsinBcosA＝0.

因为B，C∈(0，π)，所以sinB≠0，sinC≠0，

所以cosA＝－.

又A∈(0，π)，所以A＝.

方法二(角化边)：由bsinC＋2csinBcosA＝0得bc＋2bc＝0，

所以bc＋b2＋c2－a2＝0，所以cosA＝－.

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2) 由余弦定理得cosA＝，即－＝，解得b＝2或b＝－4(舍去)，

所以S△ABC＝bcsinA＝×2×2sin＝.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.

(1) 证明： tanB＝－3tanA；

(2) 若b2＋c2＝a2＋bc，且△ABC的面积为，求a的值．

解析：(1) 根据正弦定理，由已知得：

sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，

展开得sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，

整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，

由题意知cosB≠0，cosA≠0，

所以tanB＝－3tanA.

(2) 由已知得b2＋c2－a2＝bc，

所以cosA＝＝＝，

由0<A<π得A＝，所以tanA＝.

由(1)知tanB＝－.

由0<B<π得B＝，

所以C＝，

故该三角形是顶角为的等腰三角形，且a＝c.

由S＝acsin＝×a2＝得a＝2.

【注】 本例主要用于训练条件中既有边又有角时，统一角(边)，可采用角化边或边化角思想. 另外，条件中有切有弦时用切化弦的思想. 在化简式子过程中约去一个式子(数)，根据角的范围来确定式子(数)是否为零．

考向❸  含角平分线或中线的边角求解

　　例3　在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.

(1) 求；

(2) 若∠BAC＝60°，求角B的大小．

解析：(1) 由正弦定理得＝，

＝.

因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，

所以＝＝.

(2) 因为C＝π－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝，

所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝cosB＋sinB.

由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝.

因为0<B<π，所以B＝.

如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.

(1) 求sin∠BAD的值；

(2) 求AC边的长.

解析：(1) 因为cosB＝，

所以sinB＝.

又cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝，

所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.

(2) 在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，

解得BD＝2，故DC＝2.

在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝32＋22－2×3×2×＝16，

所以AC＝4.

【注】 本例以必修5第10页例5和第16页例6为模型．考察三角形中遇角平分线或中线如何解三角形．

　自测反馈　

1. 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则最大角的余弦值为__－__．

解析：因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，所以根据正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶4，可得C为最大边，则C为最大角，设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，所以cosC＝＝＝－，即最大角的余弦值为－.

2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，则c＝__7__．

解析：因为a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，所以＝absinC＝×3bsin120°，解得b＝5.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋25－2×15×＝49，则c＝7.

3. 已知在△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝__1或2__．

解析：因为在△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即AC2－3AC＋2＝0解得AC＝1或2.

4. 在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是__等腰三角形或直角三角形__．

解析：因为a2tanB＝b2tanA，所以a2·＝b2，由正弦定理可得sin2A·＝sin2B·.又因为A，B∈(0，π)，所以sinAsinB≠0，所以＝，即sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因为A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

1. 已知三角形的三边或两边和它们的夹角，适合用余弦定理求解，同时要注意方程思想的运用．若已知条件中涉及边的平方关系或角的余弦，通常也用余弦定理．

2. 正弦定理一般解决两类问题：①已知两角和任一边，求解三角形；②已知两边及其中一边的对角，求解三角形．第②类问题也可以用余弦定理解．用正弦定理解，需注意对解的情况的讨论．

3. 解三角形时要合理地进行边角互化，若已知条件中有边、角混合的式子，通常要化异为同，体会等价转化的数学思想．

4. 你还有哪些体悟，写下来：