2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第4课__充分条件和必要条件
展开____第4课__充分条件和必要条件____
1. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．
2. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.
1. 阅读：阅读选修21第5～9页．
2. 解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？
3. 践习：在教材空白处，完成第8～9页习题第2、4题.
基础诊断
1. 若a∈R，则“a＝0”是“a(a－1)＝0”的__充分不必要__条件．
解析：因为a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝1，所以“a＝0”是“a(a－1)＝0”的充分不必要条件．
2. 若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的__必要不充分__条件．
解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0一定成立；若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件．
3. 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是__若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3__．
4. 在命题“若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有__2__个．
解析：原命题：因为ac2>bc2，c2>0，所以a>b，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若a>b，则ac2>bc2”，当c2＝0时，a＝b，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有2个．
范例导航
考向❶ 对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解
例1 设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}．
(1) 若a＝3，求A∪B；
(2) 设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析：(1) 解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，即A＝(－3，1)．
当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B＝(－4，－2)，
所以A∪B＝(－4，1)．
(2) 因为p是q成立的必要不充分条件，
所以集合B是集合A的真子集．
又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
所以解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围是[0，2]．
设函数y＝lg(－x2＋4x－3)的定义域为A，函数y＝，x∈(0，m)的值域为B.
(1) 当m＝2时，求A∩B；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：(1) 由－x2＋4x－3>0，解得1<x<3，
所以A＝(1，3)．
因为函数y＝在区间(0，m)上单调递减，
所以y∈，即B＝，
所以当m＝2时，B＝，
所以A∩B＝(1，2)．
(2) 由题意得m>0.
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
所以BA，即(1，3)，
所以≥1，解得0<m≤1，
故实数m的取值范围为(0，1].
考向❷ 对集合中元素的分类讨论
例2 已知非空集合A＝{x|<0}，B＝{x|<0}．
(1) 当a＝时，求∁RB∩A；
(2) 命题p：x∈A；命题q：x∈B.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1) 当a＝时，A＝，
B＝，∁RB＝{x|x≤或x≥}，所以∁RB∩A＝.
(2) 由q是p的必要条件可得A⊆B.
由a2＋2>a，得B＝{x|a<x<a2＋2}．
①当3a＋1>2，即a>时，A＝{x|2<x<3a＋1}，由解得<a≤；
②当3a＋1＝2，即a＝时，A＝∅，符合题意；
③当3a＋1<2，即a<时，A＝{x|3a＋1<x<2}，由解得－≤a<.
综上所述，a∈.
已知命题“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．
(1) 求实数m的取值集合M；
(2) 设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1) 由题意知，方程x2－x－m＝0在区间(－1，1)上有解，即m的取值范围即为函数y＝x2－x在区间(－1，1)上的值域，易得－≤m<2，所以M＝.
(2) 因为“x∈N”是“x∈M”的必要条件，所以M⊆N.
当a＝1时，集合N为空集，不满足题意；
当a>2－a，即a>1时，此时集合N＝{x|2－a<x<a}，则解得a>；
当a<2－a，即a<1时，此时集合N＝{x|a<x<2－a}，则解得a<－.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞).
考向❸ 对逆否命题的综合运用
自测反馈
1. “三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的__充分不必要__条件．
解析：若a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；若a＝0，b＝0，c＝2，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，所以“三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．
2. “a<b”是“lna<lnb”的__必要不充分__条件．
解析：若a＝－2，b＝－1，则a<b，但lna<lnb不成立；因为函数y＝lnx在定义域上单调递增，所以当lna<lnb时，a<b，所以“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件．
3. 给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；
③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为__③__．
解析：①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝，β＝，则α>β，但cosα＝cosβ，充分性不得证，若α＝，β＝2π，cosα<cosβ，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cosα<cosβ”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a＝0，则f(x)＝x3，x∈R，f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，若f(x)＝x3＋ax(x∈R)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R恒成立，即(－x)3＋a(－x)2＝－(x3＋ax2)，即ax2＝－ax2，即a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax，x∈R为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.
4. 记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为__(－∞，－3]__．
解析：由x2＋x－6<0得－3<x<2，即A＝(－3，2)，由x－a>0，得x>a，即B＝(a，＋∞)．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以a≤－3，故实数a的取值范围为(－∞，－3]．
1. 否命题既要否定条件，又要否定结论；命题的否定只否定结论．
2. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
3. 你还有哪些体悟，写下来：
