知识点一　　合情推理

1．归纳推理

(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．

(2)特点：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

2．类比推理

(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　C　)

A．an＝3n－1   B．an＝4n－3

C．an＝n2   D．an＝3n－1

解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.

2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.

解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.

知识点一　　演绎推理

1．模式：三段论

(1)大前提——已知的一般原理；

(2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

3．“因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数(大前提)，又y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　A　)

A．大前提错误导致结论错

B．小前提错误导致结论错

C．推理形式错误导致结论错

D．大前提和小前提错误导致结论错

解析：当a>1时，y＝ax为增函数；当0<a<1时，y＝ax为减函数，故大前提错误．

4．正弦函数是奇函数，因为f(x)＝sin(x＋1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x＋1)是奇函数，以上推理的错误原因是小前提错误．

解析：由三角函数的定义可知f(x)＝sin(x＋1)不是正弦函数，即小前提错误．

1．类比推理的注意点

在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．

2．合情推理的关注点

(1)合情推理是合乎情理的推理．

(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．

3．演绎推理的特征

演绎推理是由一般到特殊的推理．它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

考向一　　归纳推理

【例1】　(1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)

A．2 017×22 013  B．2 017×22 014

C．2 017×22 015  D．2 016×22 016

(2)(2019·湖南五市十校联考)图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为(　　)

A．n   B．n2

C．n－1   D．n＋1

【解析】　(1)如图，

1　2　3　4　5　6

3　5　7　9　11

8 12 16 20

20 28 36

48　64

112

当第一行3个数时，最后一行仅一个数，为8＝23－2×(3＋1)；

当第一行4个数时，最后一行仅一个数，为20＝24－2×(4＋1)；

当第一行5个数时，最后一行仅一个数，为48＝25－2×(5＋1)；

当第一行6个数时，最后一行仅一个数，为112＝26－2×(6＋1)．

归纳推理，得当第一行2 016个数时，最后一行仅一个数，为22 016－2×(2 016＋1)．故选B.

(2)最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋1，故选D.

【答案】　(1)B　(2)D

归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

(2)与数学式子有关的推理，观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

(1)(2019·山东淄博模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，则按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝(　C　)

A．35  B．48

C．63  D．80

(2)(2019·河南安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，……，以此类推，则标2 0172的格点的坐标为(　A　)

A．(1 009,1 008)  B．(1 008,1 007)

C．(2 017,2 016)  D．(2 016,2 015)

解析：(1)根据规律得3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，所以n＝7×9＝63，故选C.

(2)点(1,0)处标1，即12；点(2,1)处标9，即32；点(3,2)处标25，即52；……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2 017时，n＝1 008，故标2 0172的格点的坐标为(1 009，1 008)．故选A.

考向二　　类比推理

【例2】　(2019·湖北孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　)

A．2πr4　　　B．3πr4　　　C．4πr4　　　D．6πr4

【解析】　二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.

【答案】　A

类比推理的应用类型

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．

(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．

(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，成等比数列．

(2)如图甲所示，在直角三角形ABC中，AC⊥AB，AD⊥BC，D是垂足，则有AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥A­BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比直角三角形中的射影定理，则有S＝S△BCO·S△BCD.

解析：(1)由等差数列的特征和等比数列的特征，运用类比推理的思维方法可得T4，，成等比数列，应填答案.

(2)从题中条件不难发现：图甲中的AC⊥AB对应图乙中的AD⊥平面ABC，图甲中的AD⊥BC对应图乙中的AO⊥平面BCD，因此在类比的结论中，图甲中的边AB对应图乙中的△ABC，图甲中的BC对应图乙中的△BCD，图甲中的BD对应图乙中的△BOC.故有S＝S△BCO·S△BCD.

考向三　　演绎推理

【例3】　(2019·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是(　　)

A．甲　　　　B．乙　　　　C．丙　　　　D．丁

【解析】　若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；

若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；

若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；

若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；

若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；

若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．

故猜对者是丙．

【答案】　C

这种形式的推理近年在高考中出现的频率很高，应引起重视.解决这类问题可以通过对选项进行一一检验即可找出正确答案，也可以通过列表格找出正确答案.

甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　D　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

解析：由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩．因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推测出自己的成绩．故选D.

以一类多项式为背景的研究性学习

随着数学新课程改革的不断推进，数学研究性学习已成为学生学习的主要方式，研究性学习不仅有助于发挥学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣，还能使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，让学生经历数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．笔者这学期任教高三，也在不断努力尝试进行数学研究性学习的教学，本文介绍笔者在教学中使用过的一个案例．

【案例】　由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．

对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx＝(2cos2x－1)cosx－2(sinxcosx)sinx＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx＝4cos3x－3cosx，可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．

一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式．

(1)请尝试求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；

(2)利用结论：cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值(3×18°＝90°－2×18°)．

本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个cosnx都可以表示为cosx的n次多项式．第(1)问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：

cos4x＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1

＝8cos4x－8cos2x＋1.

第(2)问根据所给提示3×18°＝90°－2×18°，自然想到对x进行赋值．

令x＝18°，可得

cos(3×18°)＝4cos318°－3cos18°.

另一方面

cos(3×18°)＝cos54°＝sin36°

＝sin(2×18°)＝2sin18°cos18°.

所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°

化简后可得：

2sin18°＝4cos218°－3＝4(1－sin218°)－3，

解得sin18°＝.

【评价】　以切比雪夫多项式为背景命制的高考试题不在少数，一些试题容易看出是以切比雪夫多项式作为背景的，而有一些试题虽然表面上看不出与多项式有何关联，但细想，仍与切比雪夫多项式有着紧密的联系．

观察下列等式：

①cos2α＝2cos2α－1；

②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；

③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.

可以推测，m－n＋p＝962.

解析：本题考查的是学生合情推理的能力，命题的基本着力点是切比雪夫多项式，归纳易得m＝29＝512，p＝5×10＝50，本题的难点在于无法归纳出n的值，需要抓住多项式的整体结构特征cos0＝1，得到各项的系数和为常数1，从而m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，得到n＝－400，所以m－n＋p＝962.