知识点一　 二元一次不等式表示的平面区域

1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

2．由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

1．判断正误

(1)原点能判断二元一次不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域．(　×　)

(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)

(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)

2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　C　)

A．(0,0)   B．(－1,1)

C．(－1,3)   D．(2，－3)

解析：把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.

3．(必修5P86练习第2题改编)在平面直角坐标系中，不等式组

表示的平面区域的面积是4.

解析：不等式组表示的平面区域是三角形(如图所示)，则该三角形的面积是×4×2＝4.

知识点二　　简单的线性规划

1．线性规划中的基本概念

2.求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法

将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．

(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；

(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

4．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件

则z＝3x＋2y的最大值为6.

解析：作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.

5．(2019·重庆六校联考)已知x，y满足约束条件

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　D　)

A.或－1   B．2或

C．2或1   D．2或－1

解析：画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示．令z＝0，画出直线y＝ax.a＝0显示不满足题意．当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与x＋y－2＝0平行，此时a＝－1；当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行，此时a＝2.综上，a＝－1或2.

1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．

2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

考向一　二元一次不等式(组)表示平面区域

【例1】　(1)(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)

A．对任意实数a，(2,1)∈A

B．对任意实数a，(2,1)∉A

C．当且仅当a<0时，(2,1)∉A

D．当且仅当a≤时，(2,1)∉A

(2)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是(　　)

A．[1,3]   B．(－∞，1]∪[3，＋∞)

C．[2,5]   D．(－∞，2]∪[5，＋∞)

【解析】　(1)若(2,1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2,1)∉A，故选D.

(2)作出不等式组表示的平面区域，如图，因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1,3)时，k取最大值＝5，当直线l过点C(2,2)时，k取最小值＝2，故实数k的取值范围是[2,5]．

【答案】　(1)D　(2)C

若将本例(2)中的题设变为求平面区域M的面积，结果如何？

解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B(1,3)和C(2,2)，所以|BC|＝，所以S＝××＝1.

　　与平面区域有关的计算方法

(1)画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标．

(2)根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积．

(3)注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等．

若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为(　C　)

A．－3   B．－2

C．－1   D．0

解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．

考向二　　线性规划中的最值问题

方向1　求线性目标函数的最值

【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

【解析】　画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B(5,4)时，z取得最大值，zmax＝5＋4＝9.

【答案】　9

方向2　求非线性目标函数的最值

【例3】　(1)(2019·广东广州测试)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)

A．   B．

C．－   D．－

(2)实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

【解析】　(1)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－，故选D.

(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝|x＋2y－4|＝×，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．

由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.

【答案】　(1)D　(2)21

方向3　求参数的值域范围

【例4】　当实数x，y满足时，2≤2ax＋y≤5恒成立，则实数a的值是________．

【解析】　画可行域如图所示，设目标函数z＝2ax＋y，即y＝－2ax＋z，要使2≤z≤5恒成立，则a>0，数形结合知，

满足即可，解得⇒a＝1，所以a＝1.

【答案】　1

1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

1．(方向1)(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是3.

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，作出直线2y－x＝0，平移该直线，当直线过点A(1,2)时，2y－x取得最小值，最小值为2×2－1＝3.

2．(方向2)(2019·江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件若z＝的最大值为1，则z的最小值为(　D　)

A．－   B．－

C．   D．－

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，则

C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝＝－.故选D.

3．(方向3)(2019·广东肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　A　)

A.   B.

C.1   D.

解析：作出不等式组表示的平面区域：

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，

平移直线y＝－2x，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3.

由解得即A，

又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故选A.

考向三　　线性规划的实际应用

【例5】　(2019·山西运城模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)

A．1 800元   B．2 400元

C．2 800元   D．3 100元

【解析】　设生产甲产品x件，乙产品y件，依题意有目标函数z＝300x＋400y，

作出的可行域，其中A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如图所示．由z＝300x＋400y得y＝－x＋，由图可知，目标函数在点B(4,4)取得最大值，最大值为2 800.所以公司共可获得的最大利润是2 800元．故选C.

【答案】　C

求解线性规划应用题的三个注意点

(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．

(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．

(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．

(2019·云南昆明第三中学月考)某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为(　B　)

A．11 280元   B．12 480元

C．10 280元   D．11 480元

解析：设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则目标函数z＝960x＋360y.

如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内横坐标和纵坐标均为整数的点，其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，且最低运费为zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，故选B.