第六章   不等式、推理与证明

知识点一　　两个实数比较大小

1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　D　)

A．v<40 km/h   B．v>40 km/h

C．v≠40 km/h   D．v≤40 km/h

解析：由汽车的速度v不超过40 km/h，知小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.故选D.

2．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c中最大者为a.

解析：因为b－c＝－－(－)＝(＋)－(＋)，(＋)2＝9＋2，(＋)2＝9＋2，所以b－c<0，即b<c.又a－c＝－(－)＝2－＝－>0，所以a>c.所以a，b，c中最大者为a.

知识点二 　不等式的性质

1．对称性：a>b⇔b<a；

2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；

3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

5．可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；

6．可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

3．(2019·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(　C　)

A．ac2>bc2   B.>1

C．a－c>b－c   D．a2>b2

解析：a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；a>b，若b<0，则

<1，故B错；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2<b2，故D错．于是选C.

4．已知下列四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.不能推出<成立的序号是③.

解析：①若b>0>a，则<0<，故①正确；②若0>a>b，则ab>0，∴>，即<，故②正确；③若a>0>b，则>0>，故不能推出<，因此③不正确；④若a>b>0，则>，即<，故④正确．综上可知，不能推出<成立的是③.

5．若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是.

解析：由1<α<3得<<，

由－4<β<2得－2<－β<4，

所以－<－β<，

所以－β的取值范围是.

1．比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法，也可结合函数、不等式的性质比较．

2．倒数性质的几个必备结论

(1)a>b，ab>0⇒<.

(2)a<0<b⇒<.

(3)a>b>0,0<c<d⇒>.

(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

考向一 　比较大小

【例1】　(1)已知a，b，c为正数，且3a＝4b＝6c，则下列正确的是(　　)

A．6c<3a<4b   B．6c<4b<3a

C．3a<4b<6c   D．4b<3a<6c

(2)已知a>b>0，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系为________．

【解析】　(1)令3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，则＝＝＝<1，则3a<4b，又＝＝＝<1，则4b<6c，所以3a<4b<6c，故选C.

(2)P－Q＝－

＝

＝

＝.

因为a>b>0，所以2ab>0，a－b>0，a2＋b2>0，a＋b>0，所以>0，所以P>Q.

【答案】　(1)C　(2)P>Q

1判断两个式子的大小关系的方法：作差、作商法；不等式性质法；单调性法；中间量法；特殊值法；数形结合法等.

2作差法的一般步骤：作差，变形，定号，得出结论.

(1)设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　B　)

A．A≤B   B．A≥B

C．A<B   D．A>B

(2)若a＝，b＝，c＝，则(　B　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．c<a<b   D．b<a<c

解析：(1)∵A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，∴A≥B.

(2)方法1：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c.即c<b<a.

方法2：对于函数y＝f(x)＝，y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.

考向二　　不等式的性质

【例2】　(1)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A.>   B.<

C.>   D.<

(2)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＋<<log2(a＋b)

B.<log2(a＋b)<a＋

C．a＋<log2(a＋b)<

D．log2(a＋b)<a＋<

【解析】　(1)由c<d<0⇒－>－>0，又a>b>0，故由不等式性质，得－>－>0，所以<.

(2)解法1：因为a>b>0，且ab＝1，

所以a>1,0<b<1，所以a＋＝a＋a＝2a>2，log2(a＋b)＝log2a＋>log2＝log22＝1，＝<1.可知最小，由选项知选B.

解法2：选择题也可以考虑直接赋值，关键是要看出由a>b>0，且ab＝1可以得出a>1>b>0，然后取符合要求的值，可以取a＝2，b＝，比较4，，log2，则易得答案为B.

【答案】　(1)D　(2)B

1判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.

2在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.　

(1)若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的(　A　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

(2)若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|

>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式是(　C　)

A．①②   B．②③

C．①④   D．③④

(3)(2018·北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为1，－1(答案不唯一)．

解析：(1)对于0<ab<1，如果a>0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0<ab<1不成立，因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件．即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件．

(2)因为<<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.

(3)由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)

考向三　不等式性质的应用

【例3】　(1)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是(　　)

A.   B.

C．[2,3]   D．[1,2]

(2)已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．

【解析】　(1)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，∴1≤＋≤2，≤1＋≤，即－≤－1－≤－，∴1－≤－1≤2－，即

即∴≤≤，故选A.

(2)设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤.

【答案】　(1)A　(2)

运用不等式的性质解决问题时，常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

(1)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是(－4,0)．

解析：∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.

又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0)．

(2)已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解：因为二次函数y＝f(x)的图象过原点，所以设y＝f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，

由题意知

解法1：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，

即f(－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数y＝f(x)的图象过原点，所以设y＝f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，由题意知

解法1：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得

所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，

即f(－2)的取值范围是[6,10]．

解法2：(运用方程思想)由

得

所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．