知识点一　　平面的基本性质

1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

2．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

4．公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

1．判断正误

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　×　)

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　×　)

(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　√　)

(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　×　)

2．以下四个命题中，正确命题的个数是(　B　)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数是1.

3．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　D　)

A．点A   B．点B

C．点C但不过点M   D．点C和点M

解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

知识点二　　直线与直线的位置关系

1．空间中两直线的位置关系

(1)两直线位置关系的分类

(2)公理4和等角定理

①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

2．异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)范围：.

4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　D　)

A．相交或平行   B．相交或异面

C．平行或异面   D．相交、平行或异面

解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．

5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　D　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

解析：如图，取AB的中点E，连接B1E，则AM∥B1E.取EB的中点F，连接FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN，连接CF，则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角θ.设AB＝1，在△CFN中，CN＝，FN＝，CF＝.由余弦定理得cosθ＝|cos∠CNF|＝＝.故选D.

6．下列命题中不正确的是①②.(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

解析：没有公共点的两直线平行或异面，故①错；如果与两异面直线中一条交于一点，则两直线相交，故命题②错；命题③，设两条异面直线为a，b，c∥a，若c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c，b不可能平行，③正确；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样a，b，c共确定两个平面．

1．空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补．

2．异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

3．唯一性的几个结论：

(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

考向一　　平面的基本性质

【例1】　已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；

(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

【证明】　(1)连接D1B1，如图所示．

因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．

(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．

(3)∵EF∥BD且EF<BD，

∴DE与BF相交，设交点为M，

则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，

得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.

∴DE，BF，CC1三线交于点M.

1.证明不共线的四点共面,即证由这四点组成的两条直线平行或相交.或由三点确定一个平面，再证明第4个点在该平面上.

2.证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上.

(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　D　)

解析：A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．

(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．

证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.

又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．

考向二　　空间两条直线的位置关系

【例2】　(1)(2019·益阳、湘潭调研考试)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)

A．①③  B．②③

C．②④  D．②③④

(2)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列结论：

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c.

其中正确的结论是________．(填序号)

【解析】　(1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C.

(2)若c与a，b均不相交，则有c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a，b异面相矛盾，所以①正确；对于②，显然a与b有可能垂直；易知③正确．

【答案】　(1)C　(2)①③

1要判断空间两条直线的位置关系平行、相交、异面，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.

2判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体如正方体、空间四边形等模型来推断；二是利用排除法.

(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.

其中正确的个数为(　B　)

A．0  B．1

C．2  D．3

(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　D　)

A．相交但不垂直

B．相交且垂直

C．异面

D．平行

解析：(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．

(2)连接D1E并延长交AD于M点，因为A1E＝2ED，可得，M为AD中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF＝2FA，可得N为AD中点，所以M，N重合．且＝，＝.所以＝，所以EF∥BD1.

考向三　　　异面直线所成的角

【例3】　(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　解法1：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．

因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝

＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝

＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.

解法2：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.

【答案】　C

用平移法求异面直线所成角的一般步骤

(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；

(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；

(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．

(1)已知四棱锥P­ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为(　C　)

A.   B.

C.   D.

(2)如图所示，正三棱锥A­BCD的底面BCD与正四面体E­BCD的底面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为(　D　)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析：(1)如图，设四棱锥P­ABCD的棱长为1，AC∩BD＝O，则O是AC与BD的中点，连接OE，又E是PB的中点，

所以由三角形中位线定理，得OE∥PD，OE＝PD＝，则∠AEO或其补角是异面直线AE与PD所成的角．又△PAB是等边三角形，所以AE＝AB＝.易得OA＝OB＝OC＝OD＝，在△OAE中，由余弦定理，得cos∠AEO＝＝，即异面直线AE与PD所成角的余弦值为.

(2)由已知得，底面BCD是等边三角形，又AB＝AC＝AD，EB＝EC＝ED，所以点A，E在平面BCD上的射影是△BCD的中心，即AE⊥平面BCD，则异面直线AE与CD所成角的大小为90°.