第七章　立体几何

知识点一　　空间几何体的结构特征

1．多面体

(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形．

2．旋转体

(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　×　)

2．下图所示的几何体中，是棱柱的为③⑤(填写所有正确的序号)．

解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．

知识点二　　空间几何体的三视图

1．三视图的名称

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

2．三视图的画法

(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．

3．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为(　A　)

解析：由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.

4．(2019·昆明调研测试)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(　A　)

A．63π   B．72π

C．79π   D．99π

解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为32π×5＋×π×33＝63π，故选A.

知识点三　　空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

5．下列说法正确的是(　D　)

A．相等的角在直观图中仍然相等

B．相等的线段在直观图中仍然相等

C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．

6．如图，直观图所表示的平面图形是(　D　)

A．正三角形   B．锐角三角形

C．钝角三角形   D．直角三角形

解析：由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．

2．三视图的基本要求

长对正，高平齐，宽相等．

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

考向一　　空间几何体的结构特征

【例1】　给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体；

⑤棱台的侧棱延长后交于一点．

其中正确命题的序号是________．

【解析】　

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．

【答案】　②③④⑤

1解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.

2解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.

(1)以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(　B　)

A．0  B．1

C．2  D．3

(2)给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．

其中不正确的命题为①②③.

解析：(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.

(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．

考向二　　空间几何体的三视图

方向1　由几何体识别三视图

【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

(2)(2019·山西八校联考)将正方体(如图1)截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为(　　)

【解析】　(1)由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.

(2)将图2中的几何体放到正方体中如图所示，从侧视图的视线方向观察，易知该几何体的侧视图为选项D中的图形，故选D.

【答案】　(1)A　(2)D

方向2　已知三视图判断几何体

【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2   B．2

C．3   D．2

(2)(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

【解析】　(1)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.

画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B.

(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．

易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝，PD＝2，故△PCD不是直角三角形，故选C.

【答案】　(1)B　(2)C

1.对于一些三视图题，可将几何体放到正方体或长方体中，利用正方体或长方体的线面、面面垂直关系分析几何体的三视图.

2.求解以三视图为背景的空间几何体上的两点间的最短路径问题的关键是过好双关：一是还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原出空间几何体的直观图；二是转化关，即把空间问题转化为平面问题去解决.

1．(方向1)(2019·河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　C　)

解析：如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．

2．(方向2)(2019·湖南湘东五校联考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　C　)

A．16－

B．8－

C．16－

D．16(1－)

解析：根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，画出直观图如图所示，结合图中数据，得该几何体的体积V＝V四棱柱－V圆锥＝22×4－π×12×4＝16－，故选C.

考向三　　空间几何体的直观图

【例4】　如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．

【解】　根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝A′D′＝2.所以CB＝4.故平面图形的实际面积为×(6＋4)×4＝20.

对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算.

已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

解：

如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为a，∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝a，由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为a，∴S△ABC＝a·a＝a2.

三视图还原几何体的“三步法”

三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，是高考的热点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，但是不少学生感到难度颇大．笔者研究发现，由三视图还原几何体只要按照以下三步骤去做，基本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)做垂线，找到顶点，连线即可．下面举例说明．

典例1　下图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图．

【解】　第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图1.

第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角．

第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体为三棱锥A­BCD，如图2.

以上三步，第一步是必须，第二步是关键！下面从不同角度来进一步详细说明．

典例2　一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【解析】　几何体还原说明：(1)画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线．

(2)俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一个直角．正视图和侧视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(右图中D点上方顶点)，将该顶点下拉至D点，连接DA，DB，DC即可．

该几何体即右图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD，由此可得答案为A.

【答案】　A

典例3　下图是几何体的三视图，还原其直观图．

【解】　按照三步骤去做．第一步，画出长方体，并在长方体内画出俯视图，如图1.

第二步，在正视图和侧视图中找直角．正视图中直角在左侧，侧视图是矩形．所以，将M与P向上垂直拉起，分别至C，D.注意三视图中的虚、实线，连接PC，PD，可得几何体P­ABCD.如图2.

典例4　下图是一个棱锥的三视图，还原其直观图．

【解】　俯视图中有两个直角，∠BAC和∠BDA，正视图和侧视图中没有直角．由此，可以判断俯视图中的D点是棱锥顶点在底面上的射影，所以，将D点向上拉起．右图中的棱锥V­ABC即为所求．