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所属成套资源：2020高考数学理科一轮复习导学案
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2020高考数学理科大一轮复习导学案：第三章三角函数、解三角形3.5
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知识点一 周期函数与最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
1．(必修4P35例2改编)函数f(x)＝cos的最小正周期是π.
2．函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是( B )
A. B．π C. D．2π
解析：解法1：由题意得f(x)＝3sinxcosx－sin2x＋cos2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.
解法2：由题意得f(x)＝2sin×2cos＝2sin，故该函数的最小正周期T＝＝π，故选B.
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
3．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．( × )
(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．( × )
(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
4．(必修4P40第4题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是( B )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在∪上是增函数，在上是减函数
解析：由函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，
该函数在上是增函数，
在和上是减函数．
5．(必修4P40练习第3(2)题改编)函数f(x)＝4－2cosx的最小值是2，取得最小值时，x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
解析：f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．单调性
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
3．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
考向一 三角函数的定义域与值域
【例1】 (1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
(3)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
(2)当x∈时，
2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
(3)f(x)＝1－cos2x＋cosx－
＝－cos2x＋cosx＋
＝－2＋1，
因为x∈，
所以cosx∈[0,1]，
所以当cosx＝时，
函数取得最大值1.
【答案】 (1)(k∈Z)
(2) (3)1
本例(3)中将x的取值范围变为x∈[π，2π]呢？
解：x∈[π，2π]，cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝时，函数f(x)取最大值1.
(1)三角函数定义域的求法,求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的求法
①利用sinx和cosx的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域.
(1)函数y＝lgsinx＋的定义域为x2kπ
解析：(1)要使函数有意义，
则有即
解得(k∈Z)，
所以2kπ
.
(2)∵x∈，
∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，
∴≤a≤π.
考向二 三角函数的单调性
方向1 求三角函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin，x∈[0，π]；
(2)f(x)＝|tanx|；
(3)f(x)＝cos，x∈.
【解】 (1)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数f(x)是增函数．
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)观察图象可知，y＝|tanx|的单调递增区间是，k∈Z，
单调递减区间是，k∈Z.
(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数；
当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．
因此函数f(x)在上的单调递增区间是，单调递减区间为，.
方向2 求参数取值范围
【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D．π
【解析】 f(x)＝cosx－sinx＝cos(x＋)，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0
灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的三角函数问题的关键.具体问题中，首先将“ωx＋φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解.
1．(方向1)(2018·天津卷)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间[，]上单调递增
B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，2π]上单调递减
解析：把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为[，]，故选A.
2．(方向2)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝.
解析：∵f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sinωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．
由f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝.
考向三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
方向1 三角函数的奇偶性
【例4】 (2019·广州高三调研测试)将函数y＝2sin(x＋)sin(－x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由y＝2sin(x＋)sin(－x)可得y＝2sin(x＋)cos(x＋)＝sin(2x＋)，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x＋2φ＋)，因为g(x)＝sin(2x＋2φ＋)为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为，故选A.
【答案】 A
方向2 三角函数的周期性
【例5】 在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
【解析】 ①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
【答案】 A
方向3 三角函数的对称性
【例6】 (1)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)函数f(x)＝sin图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
【解析】 (1)由题知＋＝kπ＋(k∈Z)，则ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2，故选B.
(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.结合选项可知，当k＝－1时，
x＝－是函数图象的一条对称轴．
【答案】 (1)B (2)C
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
1．(方向2)已知点P(4，－3)在角φ的终边上，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上两个相邻对称中心间的距离为，则f()的值为( C )
A. B．－
C. D．－
解析：由题意得，T＝，即T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．由三角函数的定义可得sinφ＝－，cosφ＝.所以f()＝sin(2×＋φ)＝sincosφ＋cossinφ＝×＋×(－)＝.故选C.
2．(方向1)(2019·银川模拟)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为.
解析：由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，
∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，∴φ＝.
3．(方向3)(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是－.
解析：由函数y＝sin(2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，得sin(＋φ)＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中ω的取值范围问题是高考的热点和难点，这类问题以ω为纽带将三角函数的性质有机地结合在一起，重点考查三角函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想．
1．已知函数在区间上的最值情况，求ω的取值范围
典例1 已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
【解析】 令f(x)＝2sinωx＝－2得sinωx＝－1，则ωx＝－＋2kπ(k∈Z)，解得x＝－＋，所以函数f(x)＝2sinωx离原点最近的最小值点是－，依题意，f(x)在[－，]上的最小值是－2，所以－∈[－，]，则－≥－，解得ω≥，故ω的最小值等于.
【答案】
1．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)内有最小值无最大值，则ω＝.
解析：因为f()＝f()，而(＋)＝，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在区间(，)内有最小值无最大值，所以f(x)min＝f()＝sin(＋)＝－1，所以＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝8k＋.再由f(x)在区间(，)内有最小值无最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以k＝0，ω＝.
2．已知函数的对称中心或对称轴，求ω的取值范围
典例2 已知函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点(，0)，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
【解析】 因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心(，0)到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小，故选A.
【答案】 A
2．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)．若f(x)≤f()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为.
解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f()成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f()＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin＝.
3．已知函数在区间上的单调性，求ω的取值范围
典例3 已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．
【解析】 因为ω>0，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得(2kπ＋)≤x≤(2kπ＋)，所以f(x)的减区间为[(2kπ＋)，(2kπ＋)]．
又f(x)在(，π)上单调递减，所以(，π)⊆[(2kπ＋)，(2kπ＋)]，则有
(2kπ＋)≤，(2kπ＋)≥π，
解得4k＋≤ω≤2k＋.
又因为ω>0，所以有4k＋≤2k＋，2k＋>0，解得－
则≤ω≤.
故ω的取值范围是[，]．
【答案】 [，]
3．已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.若f(x)在[－，]单调递增，求ω的取值范围．
解：因为函数f(x)＝2sinωx的周期T＝，所以[－，]是f(x)的一个单调递增区间．又f(x)在[－，]单调递增，所以[－，]⊆[－，]，
于是有－≤－，≥.
又ω>0，解得0<ω≤.
故ω的取值范围是(0，]．
4．已知函数没有零点，求ω的取值范围
典例4 函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0，x∈R)，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，]∪[，1)
C．(0，] D．(0，]∪[，]
【解析】 f(x)＝(1－cosωx)＋sinωx－
＝sinωx－cosωx＝sin(ωx－)．
令f(x)＝0，得ωx－＝kπ，k∈Z，解得x＝(kπ＋)，于是f(x)≠0的解的集合是，k∈Z.
因为f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以(π，2π)⊆，则有
(kπ＋)≤π，(kπ＋)≥2π，
解得k＋≤ω≤＋.
又因为ω>0，所以有k＋≤＋，＋>0，
解得－
又ω>0，所以0<ω≤或≤ω≤，故选D.
【答案】 D
知识点一 周期函数与最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
1．(必修4P35例2改编)函数f(x)＝cos的最小正周期是π.
2．函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是( B )
A. B．π C. D．2π
解析：解法1：由题意得f(x)＝3sinxcosx－sin2x＋cos2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.
解法2：由题意得f(x)＝2sin×2cos＝2sin，故该函数的最小正周期T＝＝π，故选B.
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
3．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．( × )
(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．( × )
(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
4．(必修4P40第4题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是( B )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在∪上是增函数，在上是减函数
解析：由函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，
该函数在上是增函数，
在和上是减函数．
5．(必修4P40练习第3(2)题改编)函数f(x)＝4－2cosx的最小值是2，取得最小值时，x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
解析：f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．单调性
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
3．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
考向一 三角函数的定义域与值域
【例1】 (1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
(3)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
(2)当x∈时，
2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
(3)f(x)＝1－cos2x＋cosx－
＝－cos2x＋cosx＋
＝－2＋1，
因为x∈，
所以cosx∈[0,1]，
所以当cosx＝时，
函数取得最大值1.
【答案】 (1)(k∈Z)
(2) (3)1
本例(3)中将x的取值范围变为x∈[π，2π]呢？
解：x∈[π，2π]，cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝时，函数f(x)取最大值1.
(1)三角函数定义域的求法,求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的求法
①利用sinx和cosx的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域.
(1)函数y＝lgsinx＋的定义域为x2kπ
解析：(1)要使函数有意义，
则有即
解得(k∈Z)，
所以2kπ
.
(2)∵x∈，
∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，
∴≤a≤π.
考向二 三角函数的单调性
方向1 求三角函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin，x∈[0，π]；
(2)f(x)＝|tanx|；
(3)f(x)＝cos，x∈.
【解】 (1)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数f(x)是增函数．
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)观察图象可知，y＝|tanx|的单调递增区间是，k∈Z，
单调递减区间是，k∈Z.
(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数；
当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．
因此函数f(x)在上的单调递增区间是，单调递减区间为，.
方向2 求参数取值范围
【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D．π
【解析】 f(x)＝cosx－sinx＝cos(x＋)，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0
灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的三角函数问题的关键.具体问题中，首先将“ωx＋φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解.
1．(方向1)(2018·天津卷)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间[，]上单调递增
B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，2π]上单调递减
解析：把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为[，]，故选A.
2．(方向2)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝.
解析：∵f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sinωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．
由f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝.
考向三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
方向1 三角函数的奇偶性
【例4】 (2019·广州高三调研测试)将函数y＝2sin(x＋)sin(－x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由y＝2sin(x＋)sin(－x)可得y＝2sin(x＋)cos(x＋)＝sin(2x＋)，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x＋2φ＋)，因为g(x)＝sin(2x＋2φ＋)为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为，故选A.
【答案】 A
方向2 三角函数的周期性
【例5】 在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
【解析】 ①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
【答案】 A
方向3 三角函数的对称性
【例6】 (1)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)函数f(x)＝sin图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
【解析】 (1)由题知＋＝kπ＋(k∈Z)，则ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2，故选B.
(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.结合选项可知，当k＝－1时，
x＝－是函数图象的一条对称轴．
【答案】 (1)B (2)C
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
1．(方向2)已知点P(4，－3)在角φ的终边上，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上两个相邻对称中心间的距离为，则f()的值为( C )
A. B．－
C. D．－
解析：由题意得，T＝，即T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．由三角函数的定义可得sinφ＝－，cosφ＝.所以f()＝sin(2×＋φ)＝sincosφ＋cossinφ＝×＋×(－)＝.故选C.
2．(方向1)(2019·银川模拟)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为.
解析：由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，
∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，∴φ＝.
3．(方向3)(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是－.
解析：由函数y＝sin(2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，得sin(＋φ)＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中ω的取值范围问题是高考的热点和难点，这类问题以ω为纽带将三角函数的性质有机地结合在一起，重点考查三角函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想．
1．已知函数在区间上的最值情况，求ω的取值范围
典例1 已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
【解析】 令f(x)＝2sinωx＝－2得sinωx＝－1，则ωx＝－＋2kπ(k∈Z)，解得x＝－＋，所以函数f(x)＝2sinωx离原点最近的最小值点是－，依题意，f(x)在[－，]上的最小值是－2，所以－∈[－，]，则－≥－，解得ω≥，故ω的最小值等于.
【答案】
1．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)内有最小值无最大值，则ω＝.
解析：因为f()＝f()，而(＋)＝，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在区间(，)内有最小值无最大值，所以f(x)min＝f()＝sin(＋)＝－1，所以＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝8k＋.再由f(x)在区间(，)内有最小值无最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以k＝0，ω＝.
2．已知函数的对称中心或对称轴，求ω的取值范围
典例2 已知函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点(，0)，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
【解析】 因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心(，0)到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小，故选A.
【答案】 A
2．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)．若f(x)≤f()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为.
解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f()成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f()＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin＝.
3．已知函数在区间上的单调性，求ω的取值范围
典例3 已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．
【解析】 因为ω>0，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得(2kπ＋)≤x≤(2kπ＋)，所以f(x)的减区间为[(2kπ＋)，(2kπ＋)]．
又f(x)在(，π)上单调递减，所以(，π)⊆[(2kπ＋)，(2kπ＋)]，则有
(2kπ＋)≤，(2kπ＋)≥π，
解得4k＋≤ω≤2k＋.
又因为ω>0，所以有4k＋≤2k＋，2k＋>0，解得－
则≤ω≤.
故ω的取值范围是[，]．
【答案】 [，]
3．已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.若f(x)在[－，]单调递增，求ω的取值范围．
解：因为函数f(x)＝2sinωx的周期T＝，所以[－，]是f(x)的一个单调递增区间．又f(x)在[－，]单调递增，所以[－，]⊆[－，]，
于是有－≤－，≥.
又ω>0，解得0<ω≤.
故ω的取值范围是(0，]．
4．已知函数没有零点，求ω的取值范围
典例4 函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0，x∈R)，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，]∪[，1)
C．(0，] D．(0，]∪[，]
【解析】 f(x)＝(1－cosωx)＋sinωx－
＝sinωx－cosωx＝sin(ωx－)．
令f(x)＝0，得ωx－＝kπ，k∈Z，解得x＝(kπ＋)，于是f(x)≠0的解的集合是，k∈Z.
因为f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以(π，2π)⊆，则有
(kπ＋)≤π，(kπ＋)≥2π，
解得k＋≤ω≤＋.
又因为ω>0，所以有k＋≤＋，＋>0，
解得－
又ω>0，所以0<ω≤或≤ω≤，故选D.
【答案】 D
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