第三章　三角函数、解三角形

知识点一　　角的概念的推广

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　)

(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　√　)

(3)不相等的角终边一定不相同．(　×　)

(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(　√　)

2．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝－弧度，这个角在第二象限．

知识点二　　弧度的概念与公式

在半径为r的圆中：

3．(必修4P10习题1.1A组第10题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　D　)

A．10π   B．9π

C.π   D.π

解析：单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝π，由弧度数的定义得π＝，所以l＝π.

4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是1或4.

解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.

知识点三　任意角的三角函数

1．定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．

2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

3．终边相同的角的三角函数值

公式一：sin(α＋k·2π)＝sinα；cos(α＋k·2π)＝cosα；tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.

5．已知角α的终边与单位圆的交点为M(，y)，则sinα等于(　B　)

A.　　　B．±　　　C.　　　D．±

解析：由题意知|r|2＝()2＋y2＝1，所以y＝±.由三角函数定义知sinα＝y＝±.

6．函数y＝的定义域为(k∈Z)．

解析：∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

∴x∈(k∈Z)．

1．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

2．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

3．任意角的三角函数的定义(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．

4．若α∈(0，)，则tanα>α>sinα.

考向一　　角的概念及终边相同的角的表示

【例1】　(1)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是(　　)

A．120°   B．150°

C．60°   D．30°

(2)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

【解析】　(1)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.

(2)因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<＋2kπ(k∈Z)，故＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第二象限角，当k＝2n＋1时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第四象限角，又＝－cos，即cos<0，因此是第二象限角．

【答案】　(1)B　(2)B

若将本例(2)中的条件“θ是第三象限角”变为“θ是第一象限角”，其他条件不变，结论又如何呢？

解：因为θ是第一象限角，所以2kπ<θ<＋2kπ(k∈Z)，故kπ<<＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋(n∈Z)，是第一象限角，当k＝2n＋1时，π＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第三象限角，又因为＝－cos，即cos<0，故是第三象限角．

1利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.

2利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

(1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　A　)

A．第一或第三象限   B．第一或第二象限

C．第二或第四象限   D．第三或第四象限

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)．

解析：(1)当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．

所以α为第一或第三象限角．故选A.

(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为(k∈Z)．

考向二　　弧度制及其应用

【例2】　(1)3弧度＝________度．

(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．

(3)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A．2　　 　　B．1　　 　　C.　　 　　D．3

【解析】　(1)3弧度＝×3度＝°.

(2)设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，

∴正方形边长为r，∴圆心角的弧度数是＝.

(3)设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，

∴扇形面积S＝lR＝R(2－R)

＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，

当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．

【答案】　(1)　(2)　(3)A

　应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？(　A　)

A．120   B．240

C．360  D．480

(2)若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数是.

解析：(1)由题意可得：S＝×8×30＝120(平方步)．

(2)设圆的半径为R，如图所示，

OA＝R，OD＝R，故AD＝＝R，

因此AB＝2AD＝R，

故该圆弧长度为R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为α＝＝.

考向三　　三角函数的定义及应用

方向1　三角函数的定义

【解析】　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是，故选C.

【答案】　C

方向2　三角函数的符号

【例4】　若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

【解析】　由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而角α为第二或第三象限角．由<0可知cosα，tanα异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角．

【答案】　C

方向3　三角函数线的应用

【例5】　函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．

【解析】　∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，

∴－<sinx<.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

∴x∈(k∈Z)．

【答案】　(k∈Z)

定义法求三角函数的3种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

1．(方向1)在平面直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|＝1且∠POQ＝，则Q点的横坐标为(　A　)

A．－   B．－

C．－   D．－

解析：设∠xOP＝α，则cosα＝，sinα＝，xQ＝cos＝×－×＝－，故选A.

2．(方向2)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在(　B　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：∵tanα<0，cosα<0，∴α在第二象限．

3．(方向3)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是(　C　)

A．sinα<tanα<cosα   B．cosα<sinα<tanα

C．sinα<cosα<tanα   D．tanα<sinα<cosα

解析：如图，作出角α的正弦线MP，

余弦线OM，正切线AT，

观察可知sinα<cosα<tanα.