知识点一　　向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

1．(必修4P78A组第6题)有关向量概念，下列命题中正确的是(　D　)

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．模相等的两个平行向量是相等向量

C．若a和b都是单位向量，则a＝b

D．两个相等向量的模相等

解析：A.若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定重合；B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C.若a和b都是单位向量，则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D.两个相等向量的模相等是正确的．

知识点二　　向量的线性运算

2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　A　)

A．－＋   B．－－

C.－   D.＋

解析：如图．

3．(必修4P92习题2.2B组第5题改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为矩形．

解析：如图，因为＋＝，－＝，

所以||＝||.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．

知识点三     共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝.

解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.

1．两个要点

理解向量相关概念时，抓住两个要点：大小、方向．

2．两特殊向量

(1)零向量的方向可任意．

(2)任意方向上都有单位向量．

3．运算法则

两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．

4．两个结论

(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．

(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

考向一    平面向量的概念

　 【例1】　(1)下列说法正确的是(　　)

A．长度相等的向量叫做相等向量

B．共线向量是在同一条直线上的向量

C．零向量的长度等于0

D．∥就是所在的直线平行于所在的直线

(2)下列命题正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a＝b

B．若|a|>|b|，则a>b

C．若a＝b，则a∥b

D．若|a|＝0，则a＝0

【解析】　(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．

(2)对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C.

【答案】　(1)C　(2)C

1两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；

2大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；

3向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.

(1)给出下列命题：

①若a＝b，b＝c，则a＝c；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

其中正确命题的序号是①②.

(2)若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线．

解析：(1)①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则∥且||＝||，因此，＝.

③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是①②.

考向二   平面向量的线性运算

【例2】　(1)如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD上，且AD＝3AE，则＝(　　)

A.＋

B.－

C.＋

D.－

(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【解析】　(1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝，＝＋，＝，＝＋，则＝(＋)，所以＝＋＝＋＋，所以＝＋＋，所以＝＋＝＋＋＋＝＋＝－，故选B.

(2)由＝＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC，又S△ACD＝S△ABC，所以S△BCD＝1－－S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B.

【答案】　(1)B　(2)B

　向量线性运算的解题策略

(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　A　)

A.－   B.－

C.＋   D.＋

(2)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且＝x＋y，则(　D　)

A．x＝－1，y＝－   B．x＝1，y＝

C．x＝－1，y＝   D．x＝1，y＝－

(3)已知O为△ABC内一点，满足4＝＋2，则△AOB与△AOC的面积之比为(　D　)

A．11   B．12

C．13   D．21

解析：(1)解法1：

如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.

解法2：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.

(2)因为＝＋＝－，

所以x＝1，y＝－，所以选D.

(3)如图所示，延长AC到点F，使AC＝CF，以AB，AF为邻边作平行四边形ABEF，对角线AE交BC于点D，故4＝＋2＝，即点O在AE上，则△AOB与△AOC的高分别为B，C到AE的距离．由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB，且相似比为12，即CDBD＝12，又因为△AOB，△AOC的底边均为AO，高的比等于BDDC＝21，所以△AOB与△AOC的面积之比为21.

考向三   共线定理及应用

方向1　判断向量共线

【例3】　(1)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)

A．1   B．－

C．1或－   D．－1或－

(2)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)

A．点P在线段AB上   B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上   D．点P在△ABC外部

【解析】　(1)由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.

由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.

又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.

(2)由＋＋＝知：＋＋＝－，即：＝－2，故点P在线段AC上．

【答案】　(1)B　(2)C

方向2　三点共线问题

【例4】　(1)已知数列{an}为等差数列，且满足＝a1＋a2 017，若＝λ(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1 009＝(　　)

A．3   B．2

C．1   D.

(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A．   B．

C．1   D．3

【解析】　(1)∵数列{an}为等差数列，满足＝a1＋a2 017，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，∴a1＋a2 017＝1，

∵数列{an}是等差数列，∴{an}的2a1 009＝a1＋a2 017＝1，a1 009＝.

(2)∵＝，∴＝，

又＝m＋＝m＋，

所以m＋＝1，m＝，故选B.

【答案】　(1)D　(2)B

1.准确理解共线向量定理

a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．

2．共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具

解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ＋(1－λ)成立”．

1．(方向1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　D　)

A.   B．2

C．－   D．－2

解析：由题意可知ma＋4b＝m(2,3)＋4(－1,2)＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．

∵ma＋4b与a－2b共线，

∴(2m－4)·(－1)＝(3m＋8)·4.∴m＝－2，故选D.

2．(方向2)在△ABC中，点H是边BC上异于端点B，C的一点，M是AH的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝.

解析：∵点H是边BC上异于端点B，C的一点，∴存在实数t使得＝t(0<t<1)，∴＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t.

∵M为AH中点，

∴＝＝＋，∴

∴λ＋μ＝＋＝.

共线定理的一个有效推广——等和线定理

根据平面向量基本定理，如果，为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量都可以由，唯一线性表示：＝x＋y.特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.

共线定理的推广——等和线

以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．

如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．

1．等和线定义

在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．

2．相关

(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0.

(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m，则＝m＝mλ＋mμ.

又＝x＋y(x，y∈R)，

所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.

以上过程可逆．

典例1　如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

【解析】　直线BF为m＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3,4]．

【答案】　[3,4]

典例2　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上变动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．

【解析】　所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时m取得最大值，结合角度，不难得到mmax＝2.

【答案】　2

1．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为.

解析：如图，过点A作＝，设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴DF＝BH，因此λ1＋λ2＝.

2．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是[1,3]．

解析：＝x＋3y()，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的等和线，当C在B点时，经过m＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．