知识点一   　　

如下表所示

1．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是、、、、.

解析：分别令x－＝0，，π，，2π，可求出x的值分别为，，，，.又因为A＝1，所以需要确定的五个点为：，，，，.

2．定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是7.

解析：在同一直角坐标系中，作出y＝cosx与y＝sin2x在区间[0,3π]上的图象(如图)．

由图象知，两图象共有7个交点．

知识点二　　　

3．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)

(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)

4．(2019·合肥市第一次质检)要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象(　B　)

A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析：先将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，

得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象．故选B.

知识点三   　　

1．振幅为A.

2．周期T＝.

3．频率f＝＝.

4．相位是ωx＋φ.

5．初相是φ.

5．(必修4P58习题1.5第4题改编)电流i(单位：A)随时间t

(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相、周期分别是，.

解析：由初相和周期的定义，得电流i变化的初相是，周期T＝＝.

6．(必修4P62例4改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．

解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，又×＝14－6，所以ω＝.

又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，

所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

考向一　　五点法作图

【例1】　(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosx·sin＋a的最大值为2.

(1)求a的值及f(x)的最小正周期；

(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．

【解】　(1)f(x)＝4cosxsin＋a

＝4cosx·＋a＝sin2x＋2cos2x＋a

＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin＋1＋a

∵f(x)的最大值为2，

∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：

画图如下：

　用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤

(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式；

(2)确定周期；

(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点；

(4)选出一个周期内与x轴的三个交点；

(5)列表；

(6)描点．

用五点法作出y＝2sin(2x＋)在内的图象．

解：2(－)＋＝－，2()＋＝，

∴令2x＋＝0，∴x＝－.2x＋＝，∴x＝.

2x＋＝π，∴x＝.2x＋＝，∴x＝.

列表如下：

描点作图．

考向二　　　三角函数的图象变换

【例2】　(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

(2)如何由y＝sin的图象得y＝sinx的图象？

【解析】　(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2＝sin的图象．故选A.

(2)把y＝sin(2x＋)图象上各点的纵坐标都伸长到原来的3倍(横坐标不变)得y＝sin(2x＋)的图象，再把y＝sin(2x＋)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin(x＋)的图象，再把y＝sin(x＋)的图象上所有点向右平移，得y＝sinx的图象．

【答案】　(1)A　(2)见解析

由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换中平移的量的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩再平移，平移的量是(ω>0)个单位长度．特别提醒：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

(1)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin2x的图象(　B　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

(2)(2019·南昌摸底调研)函数y＝sin(＋)的图象可以由函数y＝cos的图象(　B　)

A．向右平移个单位长度得到

B．向右平移个单位长度得到

C．向左平移个单位长度得到

D．向左平移个单位长度得到

解析：(1)y＝sin＝sin2x－，故将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，

可得y＝sin的图象．

(2)解法1：由y＝cos＝sin(＋)，y＝sin[(x－)＋]＝sin(＋)，知函数y＝sin(＋)的图象可以由y＝cos的图象向右平移个单位长度得到．

解法2：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.

考向三　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

【例3】　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)

的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.

【解析】　(1)由题图可知A＝，

法1：＝－＝，－－所以T＝π，故ω＝2，

因此f(x)＝sin(2x＋φ)，

又对应五点法作图中的第三个点，

因此2×＋φ＝π，所以φ＝，

故f(x)＝sin.

法2：以为第二个“零点”，(，－)为最小值点，列方程组

解得故f(x)＝sin.

(2)依题意得＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sinφ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.

【答案】　(1)f(x)＝sin

(2)sin

(1)(2019·南宁市摸底联考)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为(　B　)

A．f(x)＝2sin(2x－)

B．f(x)＝2sin(2x＋)

C．f(x)＝2sin(2x＋)

D．f(x)＝2sin(2x－)

(2)(2019·开封高三定位考试)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为(　B　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：(1)由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sinφ＝，即sinφ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin(2x＋)，故选B.

(2)由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f(x)的图象经过点(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos2ω<0，所以ω＝2，故选B.

考向四　　利用三角函数的图象研究性质

【例4】　(1)将函数y＝f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则下面对函数y＝g(x)的叙述正确的是(　　)

A．函数g(x)＝2sin

B．函数g(x)的周期为π

C．函数g(x)的一个对称中心为点

D．函数g(x)在区间上单调递增

(2)已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．

【解析】　(1)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，可得函数y＝2sin＝2sin的图象；

再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2sin4x＋的图象，

故g(x)的周期为＝，排除A，B.

令x＝－，求得g(x)＝0，可得g(x)的一个对称中心为点，故C满足条件．

在区间[，]上，4x＋∈[π，]，函数g(x)没有单调性，故排除D.

(2)方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0⇔m＝2sin，要使原方程在上有两个不同实根，函数y＝2sin与y＝m在上有两个不同交点，如图，需满足1≤m<2.

【答案】　(1)C　(2)1≤m<2

1研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

2方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.

(1)(2019·武汉市调研考试)将函数y＝sin2x的图象上的点P(，t)按向量a＝(m,0)(m>0)平移后得到点P′.若点P′在函数y＝sin(2x－)的图象上，则(　C　)

A．t＝，m的最小值为　 B．t＝，m的最小值为

C．t＝，m的最小值为   D．t＝，m的最小值为

(2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为π.

解析：(1)由题可得P′(＋m，t)，又P′在y＝sin(2x－)的图象上，所以t＝sin[2(＋m)－]，即t＝sin2m(m>0)，因为P(，t)在函数y＝sin2x的图象上，所以t＝，此时m的最小值为，故选C.

(2)∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，

∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．

又f(x)在上有且只有一个零点，

∴≤≤－，∴≤T≤，

∴≤≤(k∈Z)，∴－≤k≤，又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.