2020版物理新导学浙江选考大一轮精讲讲义：第五章机械能守恒定律本章学科素养提升

(1)用动能定理求变力做功

动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功．因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．

(2)利用微元法求变力做功

将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做“元功”的代数和．此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．

(3)化变力为恒力求变力做功

变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．

例1　如图1所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为FN.重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为(　　)

图1

A.R(FN－3mg)   B.R(2mg－FN)

C.R(FN－mg)   D.R(FN－2mg)

答案　A

解析　质点在B点，由牛顿第二定律，有：FN′－mg＝m，由牛顿第三定律有FN′＝FN，质点在B点的动能为EkB＝mv2＝(FN－mg)R.质点自A滑到B的过程中，由动能定理：mgR＋Wf＝EkB－0，解得：Wf＝R(FN－3mg)，故A正确，B、C、D错误．

[规律总结]　利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，可考虑由动能的变化来间接求功，尤其对于曲线运动或变力做功问题．

例2　如图2所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)，用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角．整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，物块与桥面间的动摩擦因数为μ(g取10 m/s2)，求这一过程中：

图2

(1)拉力F做的功；

(2)桥面对物块的摩擦力做的功．

[思维导引]　本题中拉力和摩擦力均为变力，不能直接用功的公式计算．因为拉力F的大小不变，方向时刻在变，可用微元法分析求解；而对于摩擦力，由于正压力在变，所以摩擦力大小和方向都变，可根据动能定理求解．

答案　(1)376.8 J　(2)－136.8 J

解析　(1)将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°、…、Wn＝Flncos 37°

所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR＝376.8 J

(2)因为重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J.

而因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0

所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J.

[规律总结]　微元法解题的思想方法：将研究对象分解为很多“微元”，或将其运动过程分解成许多微小的“元过程”(对应的物理量微元可以分为时间微元、速度微元、位移微元、电荷量微元等)，分析每个“元过程”遵循的物理规律，然后将每个“元过程”相关的物理量累加求和，从而使问题得到解决．

例3　如图3所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)

图3

A．W1>W2

B．W1<W2

C．W1＝W2

D．无法确定W1和W2的大小关系

答案　A

解析　轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功； 因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确．