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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章 三角函数、解三角形4.6
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§4.6 正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；cos B＝；cos C＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?
提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．
提示 acos B＋bcos A＝c；acos C＋ccos A＝b.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案 2
解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
题组三 易错自纠
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 由已知及正弦定理得sin C
故△ABC为钝角三角形．
5．(2018·大连质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案
解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于( )
A. B．－ C．± D.
答案 A
解析 ∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sin B＝5sin C.
又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B，
∴8sin B＝10sin Bcos B.
∵sin B≠0，∴cos B＝，
∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为 ．
答案
解析 设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
思维升华 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
跟踪训练2 (1)(2018·沈阳质检)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为( )
A．2 B.
C. D．3
答案 A
解析 设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，
得S△ABC＝·AB·BCsin B＝x.①
根据余弦定理，得
cos B＝＝＝.②
将②代入①，得
S△ABC＝x＝.
由三角形的三边关系，得
解得2－2
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
答案 2
解析 因为b2sin C＝4sin B，
所以b2c＝4b，所以bc＝4，
S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
题型三 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例3 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 方法一 由余弦定理可得a＝2b·，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形．
方法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形．
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0
故△ABC为等边三角形．
命题点2 求解几何计算问题
例4如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
解 (1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意：
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
跟踪训练3 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
(2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是______．
答案 (－，＋)
解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，
∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 C
解析 ∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，
解得c＝4或c＝－1(舍去)．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2，C＝30°，则B等于( )
A．30° B．60°
C．30°或60° D．60°或120°
答案 D
解析 ∵c＝2，b＝2，C＝30°，∴由正弦定理可得
sin B＝＝＝，由b>c，可得30°
3．(2018·丹东模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 A
解析 ∵向量m＝，n＝共线，
∴acos ＝bcos .
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos cos＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .
∵0<<，0<<，∴＝，即A＝B.
同理可得B＝C.
∴△ABC的形状为等边三角形．故选A.
5.(2018·本溪质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4π B．8π C．9π D．36π
答案 C
解析 c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝，得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为sin A，sin B，sin C成等比数列，
所以sin2B＝sin Asin C，
由正弦定理得b2＝ac，
又c＝2a，
故cos B＝＝＝.
7．(2018·通辽模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为______．
答案 或
解析 由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，
又0
答案 1
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝.
又C＝，B＋C<π，
所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
答案 ＋1
解析 ∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，A＝π－＝，
∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
10.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
答案
解析 因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，
在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝
＝ ＝.
11．(2018·通辽模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.
(1)证明：sin B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
(1)证明 由正弦定理知＝＝＝2R，
∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得
sin A＝sin B·，
又∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴1＝，即sin B＝cos A.
(2)解 由sin C－sin Acos B＝知，
sin(A＋B)－sin Acos B＝，∴cos Asin B＝.
由(1)知，sin B＝cos A，
∴cos2A＝，由于B是钝角，
故A∈，∴cos A＝，A＝.
sin B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
12．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<，
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是( )
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
答案 D
解析 易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形．
14．(2018·包头模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
答案 12
解析 由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－32，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，
即最大值为12.
15．在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为________．
答案
解析 由C＝60°及＝＝2，可得c＝.
由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，
∴S＝absin C≤×3×＝，
∴△ABC的面积S的最大值为.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－(b－c)2＝(2－)bc，且sin B＝1＋cos C，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
又0
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，sin C＝，cos C＝－，
在△ACM中，由余弦定理得
AM2＝b2＋2－2b··cos C
＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；cos B＝；cos C＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?
提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．
提示 acos B＋bcos A＝c；acos C＋ccos A＝b.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案 2
解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
题组三 易错自纠
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 由已知及正弦定理得sin C
故△ABC为钝角三角形．
5．(2018·大连质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案
解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于( )
A. B．－ C．± D.
答案 A
解析 ∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sin B＝5sin C.
又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B，
∴8sin B＝10sin Bcos B.
∵sin B≠0，∴cos B＝，
∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为 ．
答案
解析 设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解 由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
思维升华 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
跟踪训练2 (1)(2018·沈阳质检)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为( )
A．2 B.
C. D．3
答案 A
解析 设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，
得S△ABC＝·AB·BCsin B＝x.①
根据余弦定理，得
cos B＝＝＝.②
将②代入①，得
S△ABC＝x＝.
由三角形的三边关系，得
解得2－2
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
答案 2
解析 因为b2sin C＝4sin B，
所以b2c＝4b，所以bc＝4，
S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
题型三 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例3 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 方法一 由余弦定理可得a＝2b·，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形．
方法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形．
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0
故△ABC为等边三角形．
命题点2 求解几何计算问题
例4如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
解 (1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意：
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
跟踪训练3 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
(2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是______．
答案 (－，＋)
解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，
∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 C
解析 ∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，
解得c＝4或c＝－1(舍去)．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2，C＝30°，则B等于( )
A．30° B．60°
C．30°或60° D．60°或120°
答案 D
解析 ∵c＝2，b＝2，C＝30°，∴由正弦定理可得
sin B＝＝＝，由b>c，可得30°
3．(2018·丹东模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 A
解析 ∵向量m＝，n＝共线，
∴acos ＝bcos .
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos cos＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .
∵0<<，0<<，∴＝，即A＝B.
同理可得B＝C.
∴△ABC的形状为等边三角形．故选A.
5.(2018·本溪质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4π B．8π C．9π D．36π
答案 C
解析 c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝，得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为sin A，sin B，sin C成等比数列，
所以sin2B＝sin Asin C，
由正弦定理得b2＝ac，
又c＝2a，
故cos B＝＝＝.
7．(2018·通辽模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为______．
答案 或
解析 由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，
又0
答案 1
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝.
又C＝，B＋C<π，
所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
答案 ＋1
解析 ∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，A＝π－＝，
∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
10.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
答案
解析 因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，
在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝
＝ ＝.
11．(2018·通辽模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.
(1)证明：sin B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
(1)证明 由正弦定理知＝＝＝2R，
∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得
sin A＝sin B·，
又∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴1＝，即sin B＝cos A.
(2)解 由sin C－sin Acos B＝知，
sin(A＋B)－sin Acos B＝，∴cos Asin B＝.
由(1)知，sin B＝cos A，
∴cos2A＝，由于B是钝角，
故A∈，∴cos A＝，A＝.
sin B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
12．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<，
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是( )
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
答案 D
解析 易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形．
14．(2018·包头模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
答案 12
解析 由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－32，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，
即最大值为12.
15．在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为________．
答案
解析 由C＝60°及＝＝2，可得c＝.
由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，
∴S＝absin C≤×3×＝，
∴△ABC的面积S的最大值为.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－(b－c)2＝(2－)bc，且sin B＝1＋cos C，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
又0
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，sin C＝，cos C＝－，
在△ACM中，由余弦定理得
AM2＝b2＋2－2b··cos C
＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.
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