2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章　三角函数、解三角形4.2

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲
考情考向分析
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.



1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z).
2.诱导公式
公式
一
二
三
四
五
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
(2k＋1)π＋α(k∈Z)
＋α
－α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
cos α
－cos α
－sin α
sin α
正切
tan α
－tan α
tan α
－cot α
cot α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限

概念方法微思考
1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号．
2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)
题组二　教材改编
2．若sin α＝，<α<π，则tan α＝ .
答案　－
解析　∵<α<π，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
3．已知tan α＝2，则的值为 ．
答案　3
解析　原式＝＝＝3.
4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.


题组三　易错自纠
5．已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为 ．
答案　
解析　∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
6．(2018·鄂尔多斯诊断)已知α为锐角，cos＝，则cos(π＋α)＝ .
答案　－
解析　∵cos＝sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.
7．已知cos α＝，－<α<0，则的值为 ．
答案　
解析　∵－<α<0，
∴sin α＝－ ＝－，
∴tan α＝－2.
则＝
＝－＝＝.

题型一　同角三角函数基本关系式的应用
1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，
故tan α＝＝－.
2．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)
A. B. C．1 D.
答案　A
解析　tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
答案　B
解析　由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
4．已知cos x＋sin x＝，x∈(0，π)，则tan x等于(　　)
A．－ B．－
C．2 D．－2
答案　A
解析　由cos x＋sin x＝，sin2x＋cos2x＝1，x∈(0，π)，解得sin x＝，cos x＝－，所以tan x＝－.
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
题型二　诱导公式的应用
例1 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
答案　C
解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
(2)化简：
＝ .
答案　－1
解析　原式＝
＝＝－1.
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
跟踪训练1 (1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则
的值为 ．
答案　－
解析　原式＝＝tan α，
根据三角函数的定义得tan α＝－.
(2)已知f(α)＝(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f＝ .
答案　
解析　∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2 (1)(2018·铁岭模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　D
解析　因为＋＝，
所以cos＝sin＝sin.
因为－π<α<－，所以－<α＋<－.
又cos＝>0，所以－<α＋<－，
所以sin＝－
＝－＝－.
(2)已知－π ①求sin x－cos x的值；
②求的值．
解　①由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π 又sin xcos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
②＝
＝
＝＝－.
引申探究
本例(2)中若将条件“－π 解　若0 ∴sin x>0，cos x<0，
∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.
思维升华 (1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练2 (1)(2018·营口模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)
cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，
即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，
故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ
＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ
＝＝
＝＝.
(2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
答案　D
解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.


1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为tan α＝－，所以＝－，
所以cos α＝－sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝±，
又α是第四象限角，所以sin α＝－.
2．已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　∵α为锐角，
∴cos α＝＝，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.
3．(2018·包头质检)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.
又∵|θ|<，∴θ＝.
4．(2018·盘锦质检)已知α∈，且cos α＝－，则等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　∵α∈，且cos α＝－，
∴sin α＝＝，
则＝＝＝.
5．已知tan θ＝2，则的值为(　　)
A. B．1 C．－ D．－1
答案　B
解析　∵tan θ＝2，
∴＝＝＝1.
6．(2018·营口检测)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　由已知sin＝，得cos α＝，
∵α∈，∴sin α＝，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.
7．若θ∈，则等于(　　)
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
答案　A
解析　因为
＝＝
＝|sin θ－cos θ|，
又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，
所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.
8．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　D
解析　由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝，因为sin2x＋cos2x＝1，
所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－.当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－.故选D.
9．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝ .
答案　
解析　因为tan A＝>0，所以A为锐角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.
10．(2018·朝阳检测)sin π·cos π·tan的值是 ．
答案　－
解析　原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
11．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为 ．
答案　
解析　因为cos α－sin α＝－，①
所以1－2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝.
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.
又0<α<，
所以sin α＋cos α>0.
所以sin α＋cos α＝.②
由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，
所以＝.
12．(2018·葫芦岛模拟)已知k∈Z，化简：
＝ .
答案　－1
解析　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1.
综上，原式＝－1.

13．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
答案　B
解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，
解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
14．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝ .
答案　0
解析　原式＝cos α ＋sin α
＝cos α＋sin α，
因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，
即原式等于0.

15．已知α，β∈，且sin(π－α)＝cos.
cos(－α)＝－cos(π＋β)，求α，β.
解　由已知可得
∴sin2α＋3cos2α＝2，∴sin2α＝，
又α∈，∴sin α＝，α＝.
将α＝代入①中得sin β＝，
又β∈，∴β＝，综上α＝，β＝.
16．已知cos＋sin＝1.
求cos2＋cos β－1的取值范围．
解　由已知得cos β＝1－sin α.
∵－1≤cos β≤1，∴－1≤1－sin α≤1，
又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，
∴cos2＋cos β－1＝sin2α＋1－sin α－1＝sin2α－sin α
＝2－.(*)
又0≤sin α≤1，
∴当sin α＝时，(*)式取得最小值－，
当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.