2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章　三角函数、解三角形4.3

§4.3　三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.



1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
x≠kπ＋}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

概念方法微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？
提示　(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　×　)
(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
题组二　教材改编
2．函数f(x)＝cos的最小正周期是 ．
答案　π
3．y＝3sin在区间上的值域是 ．
答案　
解析　当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
4．函数y＝－tan的单调递减区间为 ．
答案　(k∈Z)
解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
得＋ 所以y＝－tan的单调递减区间为
(k∈Z)．
题组三　易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案　B
解析　函数y＝2sin的最小正周期T＝＝π，
又sin＝1，
∴函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．
6．函数f(x)＝4sin的单调递减区间是 ．
答案　(k∈Z)
解析　f(x)＝4sin＝－4sin.
所以要求f(x)的单调递减区间，
只需求y＝4sin的单调递增区间．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是 ．
答案　sin 68°>cos 23°>cos 97°
解析　sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.

题型一　三角函数的定义域
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.
2．函数y＝的定义域为 ．
答案　(k∈Z)
解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．

所以定义域为.
3．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为 ．
答案　
解析　要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ 所以函数的定义域为.
思维升华 三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
题型二　三角函数的值域(最值)
例1 (1)函数y＝cos 2x＋2cos x的值域是(　　)
A．[－1,3] B.
C. D.
答案　B
解析　y＝cos 2x＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－1＝22－，因为cos x∈[－1,1]，所以原式的值域为.
(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
答案　A
解析　因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以－≤sin≤1，则－≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－.
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　∵x∈，∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，
∴≤a≤π.
(2)(2018·通辽质检)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为 ．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
题型三　三角函数的周期性与对称性
例2 (1)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1 答案　2或3
解析　由题意得1<<2，k∈N，
∴ ∴k＝2或3.
(2)(2018·辽阳模拟)若函数y＝cos(ω∈N＋)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为 ．
答案　2
解析　由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N＋，∴ωmin＝2.
思维升华 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
(2)求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
跟踪训练2 (1)(2018·抚顺质检)下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案　B
解析　∵cos|x|＝cos x，
∴y＝cos|x|是周期函数．
(2)若直线x＝π和x＝π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为(　　)
A.π B. C. D.
答案　A
解析　由题意，函数的周期T＝2×＝2π，∴ω＝＝1，∴y＝cos(x＋φ)，当x＝π时，函数取得最大值或最小值，即cos＝±1，可得π＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－π，k∈Z.当k＝2时，可得φ＝π.

题型四　三角函数的单调性

命题点1　求三角函数的单调区间
例3 (1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为 ．
答案　(k∈Z)
解析　f(x)＝sin＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)函数f(x)＝tan的单调递增区间是 ．
答案　(k∈Z)
解析　由kπ－<2x＋ 得－ 所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
(3)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是 ．
答案　
解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴函数的单调递增区间为.
命题点2　根据单调性求参数
例4 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是 ．
答案　
解析　由0，得
＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是 ．
答案　
解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　D
解析　函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴解得≤a<.

三角函数的图象与性质
纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
例 (1)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
答案　A
解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
答案　D
解析　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，
所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，
所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)，
所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．
故选D.
(3)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 ．

答案　，k∈Z
解析　由图象知，周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，
得2k－ ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(4)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为 ．
答案　π
解析　记f(x)的最小正周期为T.
由题意知≥－＝，
又f＝f＝－f，
且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：

∴x1＝×＝，
x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.


1．函数y＝2sin的图象(　　)
A．关于原点对称
B．关于点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
答案　B
解析　∵当x＝－时，函数y＝2sin＝0，
∴函数图象关于点对称．
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－ C. D．0
答案　B
解析　由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
3．函数y＝sin x2的图象是(　　)


答案　D
解析　函数y＝sin x2为偶函数，排除A，C；又当x＝时函数取得最大值，排除B，故选D.
4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
答案　D
解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，
则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，
∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f>0，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　C
解析　由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.又f＝sin>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin 2x.令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
7．函数y＝的定义域为________．
答案　
解析　要使函数有意义必须有tan≠0，
则
所以x－≠，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z，
所以原函数的定义域为.

8．(2018·赤峰模拟)设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
答案　2
解析　|x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，
又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.
9．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案　
解析　由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
∴得函数f(x)的最小正周期为＝.
10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
答案　④
解析　函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－ 11．(2017·北京)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解　f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明　因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤.
所以sin≥sin＝－.
所以当x∈时，f(x)≥－.
12．已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈的x的取值集合．
解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.

13．定义运算：a*b＝
例如1*2=1,则函数f(x) = sin x * cos x的值域为(　　)
A. B．[－1,1]
C. D.
答案　D
解析　根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈，当0≤x<或sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为.
14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|<可得，当k＝0时，φ的取值范围为.




15．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案　[0，＋∞)
解析　f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数得k∈Z，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，∴0≤θ≤，
∵f＝cos，又≤θ＋≤，
∴fmax＝0，∴m≥0.
16．设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.
(1)求函数f(x)的最小正周期．
(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．
解　(1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又0<ω<，∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋m，
∵f(π)＝0，
∴2sin＋m＝0，
∴m＝－2，
∴f(x)＝2sin－2，
当0≤x≤时，－≤x－≤，
－≤sin≤1.
∴－3≤f(x)≤0，
故函数f(x)在上的值域为