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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章 三角函数、解三角形4.7
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§4.7 解三角形的实际应用
最新考纲
考情考向分析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.
实际测量中的常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部
可达
∠ACB＝α，BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部
不可达
∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a
解两个直角三角形AB＝
求水平距离
山两侧
∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a
用余弦定理AB＝
河两岸
∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a
用正弦定理AB＝
河对岸
∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a
在△ADC中，AC＝；在△BDC中，BC＝；在△ABC中，应用余弦定理求AB
概念方法微思考
在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？
提示 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.( √ )
题组二 教材改编
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.
答案 50
解析 由正弦定理得＝，
又B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．
3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．
答案 a
解析 由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，
∴在△PAB中，＝，
∴PB＝a，
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.
题组三 易错自纠
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
答案 D
解析 设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
5．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.
答案 130°
解析 60°＋70°＝130°.
6．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．
答案 5
解析 由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，即＝，得BC＝5.
题型一 测量距离问题
1．(2018·营口检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.
答案 10
解析 如图，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得
MN＝
＝＝10 (m)．
2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，
∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.
答案
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.
∴A，B两点间的距离为 km.
3．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
思维升华 求距离问题的两个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
题型二 测量高度问题
例1 (2018·赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________ m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
答案 22.6
解析 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝____________.
答案
解析 由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.
故山高CD为.
题型三 角度问题
例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2 千米．
(1)船的航行速度是每小时多少千米？
(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？
解 (1)在△BCP中，由tan∠PBC＝，得BC＝＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以AB＝2(＋1)，
故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理得CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin∠CDB＝，
所以，山顶位于D处南偏东45°的方向．
思维升华 解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角和方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
跟踪训练2 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．
答案 北偏西10°
解析 由已知得∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，
∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．
1．(2018·沈阳调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案 D
解析 如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.
2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
答案 A
解析 如图所示，易知，
在△ABC中，AB＝20，
∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
＝，
解得BC＝10.
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
答案 B
解析 依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
5．(2018·呼和浩特质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A．5 B．15
C．5 D．15
答案 D
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.
故选D.
6．(2018·丹东模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(＋1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案 C
解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，
CD＝＝
＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝
＝60(2－)m，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.
7．(2018·乌海模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.
答案 100
解析 设坡底需加长x m，
由正弦定理得＝，解得x＝100.
8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
答案
解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
得BC＝20.
由正弦定理，得＝，
即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
9．(2018·阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．
答案 10
解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，得AB＝5，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．
10．(2018·盘锦质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．
答案 50
解析 如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.
11.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______米．
答案 1 000
解析 由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，
∴∠ASB＝135°，
在△ABS中，由正弦定理可得＝，
∴AB＝1 000，∴BC＝＝1 000.
12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.
答案 45
解析 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，
则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.
∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，
∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，
∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，
∴tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.
14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.
答案 15
解析 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．
15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是______小时.
答案
解析 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t小时，经过t小时渔船到达B处，则舰艇也在此时到达B处.在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，CA＝10，CB＝9t，AB＝21t，由余弦定理得(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°，即36t2－9t－10＝0，解得t＝或t＝－(舍).
16.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量得cos A＝，sin B＝.
(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解 (1)∵cos A＝，sin B＝，
∴sin A＝，cos B＝－，
∴sin C＝sin(A＋B)＝，
在△ABC中，由正弦定理＝，
得AB＝1 040 m，
设乙出发t min后，甲、乙距离为d，
由余弦定理得d2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×，
即d2＝200(37t2－70t＋50)＝200.
∵0≤t≤，即0≤t≤8，∴当t＝时，
即乙出发 min后，乙在缆车上与甲的距离最短．
(2)∵sin A＝，
∴由正弦定理，得＝，即＝，
∴BC＝500 m.
乙从B出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙的步行速度为v m/min，则≤3，
故－3≤－≤3，解得≤v≤.
故为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在范围内.
最新考纲
考情考向分析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.
实际测量中的常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部
可达
∠ACB＝α，BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部
不可达
∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a
解两个直角三角形AB＝
求水平距离
山两侧
∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a
用余弦定理AB＝
河两岸
∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a
用正弦定理AB＝
河对岸
∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a
在△ADC中，AC＝；在△BDC中，BC＝；在△ABC中，应用余弦定理求AB
概念方法微思考
在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？
提示 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.( √ )
题组二 教材改编
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.
答案 50
解析 由正弦定理得＝，
又B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．
3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．
答案 a
解析 由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，
∴在△PAB中，＝，
∴PB＝a，
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.
题组三 易错自纠
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
答案 D
解析 设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
5．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.
答案 130°
解析 60°＋70°＝130°.
6．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．
答案 5
解析 由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，即＝，得BC＝5.
题型一 测量距离问题
1．(2018·营口检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.
答案 10
解析 如图，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得
MN＝
＝＝10 (m)．
2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，
∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.
答案
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.
∴A，B两点间的距离为 km.
3．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
思维升华 求距离问题的两个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
题型二 测量高度问题
例1 (2018·赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________ m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
答案 22.6
解析 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝____________.
答案
解析 由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.
故山高CD为.
题型三 角度问题
例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2 千米．
(1)船的航行速度是每小时多少千米？
(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？
解 (1)在△BCP中，由tan∠PBC＝，得BC＝＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以AB＝2(＋1)，
故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理得CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin∠CDB＝，
所以，山顶位于D处南偏东45°的方向．
思维升华 解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角和方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
跟踪训练2 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．
答案 北偏西10°
解析 由已知得∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，
∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．
1．(2018·沈阳调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案 D
解析 如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.
2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
答案 A
解析 如图所示，易知，
在△ABC中，AB＝20，
∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
＝，
解得BC＝10.
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
答案 B
解析 依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
5．(2018·呼和浩特质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A．5 B．15
C．5 D．15
答案 D
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.
故选D.
6．(2018·丹东模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(＋1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案 C
解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，
CD＝＝
＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝
＝60(2－)m，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.
7．(2018·乌海模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.
答案 100
解析 设坡底需加长x m，
由正弦定理得＝，解得x＝100.
8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
答案
解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
得BC＝20.
由正弦定理，得＝，
即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
9．(2018·阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．
答案 10
解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，得AB＝5，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．
10．(2018·盘锦质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．
答案 50
解析 如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.
11.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______米．
答案 1 000
解析 由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，
∴∠ASB＝135°，
在△ABS中，由正弦定理可得＝，
∴AB＝1 000，∴BC＝＝1 000.
12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.
答案 45
解析 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，
则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.
∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，
∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，
∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，
∴tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.
14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.
答案 15
解析 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．
15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是______小时.
答案
解析 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t小时，经过t小时渔船到达B处，则舰艇也在此时到达B处.在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，CA＝10，CB＝9t，AB＝21t，由余弦定理得(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°，即36t2－9t－10＝0，解得t＝或t＝－(舍).
16.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量得cos A＝，sin B＝.
(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解 (1)∵cos A＝，sin B＝，
∴sin A＝，cos B＝－，
∴sin C＝sin(A＋B)＝，
在△ABC中，由正弦定理＝，
得AB＝1 040 m，
设乙出发t min后，甲、乙距离为d，
由余弦定理得d2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×，
即d2＝200(37t2－70t＋50)＝200.
∵0≤t≤，即0≤t≤8，∴当t＝时，
即乙出发 min后，乙在缆车上与甲的距离最短．
(2)∵sin A＝，
∴由正弦定理，得＝，即＝，
∴BC＝500 m.
乙从B出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙的步行速度为v m/min，则≤3，
故－3≤－≤3，解得≤v≤.
故为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在范围内.
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