2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第三章　导数及其应用3.3

§3.3　定积分与微积分基本定理
最新考纲
考情考向分析
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2.了解微积分基本定理的含义.
利用定积分求平面图形的面积，定积分的计算是高考考查的重点.



1．定积分的概念
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0 当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
2．定积分的性质
(1)ʃcf(x)dx＝c·ʃf(x)dx(c为常数)．
(2)设f(x)，g(x)可积，则ʃ[f(x)＋g(x)]dx＝ʃf(x)dx＋ʃg(x)dx.
3．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
概念方法微思考
ʃf(x)dx是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？
提示　不是．函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．




题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃf(x)dx＝ʃf(t)dt.(　√　)
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0.(　√　)
(3)若ʃf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　×　)
(4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ(x2－x)dx.(　×　)
题组二　教材改编
2．ʃdx＝________.
答案　1
解析　ʃdx＝ln(x－1)|＝ln e－ln 1＝1.
3．ʃdx＝________.
答案　
解析　ʃdx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积，
∴ʃdx＝.
4．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是______m.
答案　
解析　s＝ʃ(3t＋2)dt＝
＝×4＋4－＝10－＝(m)．
题组三　易错自纠
5.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　)

A．1 B.
C. D．2
答案　B
解析　所求面积＝ʃ(－x2＋2x)dx＝＝－＋4＝.
6.一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在 s～6 s间的运动路程为____ m.

答案　
解析　由题图可知，v(t)＝
由变速直线运动的路程公式，可得
s＝+ʃ2dt＋ʃdt
==(m).
所以物体在 s～6 s间的运动路程是 m.
7．＝________.
答案　2
解析　由题意得
＝
＝－(sin 0－cos 0)＝2.

题型一　定积分的计算
利用微积分基本定理求下列定积分：
(1)ʃ(x2＋2x＋1)dx；
(2)ʃ(sin x－cos x)dx；
(3)ʃ|1－x|dx；
(4)ʃdx；
(5)ʃe|x|dx；
(6)若ʃ(x2＋mx)dx＝0，求m.
解　(1)ʃ(x2＋2x＋1)dx＝ʃx2dx＋ʃ2xdx＋ʃ1dx
＝＋x2|＋x|＝.
(2)ʃ(sin x－cos x)dx＝ʃsin xdx－ʃcos xdx
＝＝2.
(3)ʃ|1－x|dx＝ʃ(1－x)dx＋ʃ(x－1)dx
＝
＝－0＋－
＝1.
(4)ʃdx＝ʃe2xdx＋ʃdx
＝＝e4－e2＋ln 2－ln 1
＝e4－e2＋ln 2.
(5)ʃe|x|dx＝ʃe－xdx＋ʃexdx
＝
＝－1＋e＋e－1＝2e－2.
(6)∵ʃ(x2＋mx)dx＝＝＋＝0，
∴m＝－.
思维升华 计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
(2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分．
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．




题型二　定积分的几何意义

命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分
例1 设f(x)＝则ʃf(x)dx的值为________．
答案　＋
解析　根据定积分性质可得ʃf(x)dx＝ʃdx＋ʃ(x2－1)dx，根据定积分的几何意义可知，ʃdx是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的，∴ʃdx＝，
∴ʃf(x)dx＝＋＝＋.
命题点2　求平面图形的面积
例2 (1)曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为________．
答案　2ln 2－
解析　解方程组得则曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S＝ʃdx＝
＝(2ln 2－2＋2)－＝2ln 2－.

(2)曲线y＝x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________．
答案　
解析　设曲线y＝x2在点(2,1)处的切线为l，
∵y′＝x，∴直线l的斜率k＝y′|x＝2＝1，
∴直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1.
当y＝0时，x－1＝0，即x＝1，
所围成的封闭图形如图所示，

∴所求面积S＝ʃx2dx－×1×1
＝－＝.
思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分．
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
跟踪训练1 (1)定积分ʃdx的值为________．
答案　
解析　由定积分的几何意义知，ʃdx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故ʃdx＝＝.
(2)(2018·赤峰模拟)曲线y＝2sin x(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．
答案　2－
解析　令2sin x＝1，得sin x＝，
当x∈[0，π]时，得x＝或x＝，
所以所求面积S＝
＝(－2cos x－x)＝
题型三　定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离是________ m.
答案　4＋25ln 5
解析　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝ʃdt
＝
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)．
思维升华　定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.
跟踪训练2 一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J
C. J D．2 J
答案　C
解析　ʃF(x)cos 30°dx＝ʃ(5－x2)dx
＝＝，
所以F(x)做的功为 J.


1．ʃ(1－x)dx等于(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
答案　C
解析　ʃ(1－x)dx＝＝.
2．ʃ|sin x|dx等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　ʃ|sin x|dx＝2ʃsin xdx＝2(－cos x)|＝2×(1＋1)＝4.
3．(2018·丹东质检)ʃ(＋x)dx等于(　　)
A．π B. C．π＋1 D．π－1
答案　B
解析　ʃ(＋x)dx＝ʃdx＋ʃxdx＝＝.
故选B.
4．(2018·大连双基测试)等于(　　)
A．0 B.－
C.－ D.－1
答案　B
解析　
＝＝－.
5．(2018·大连调研)若ʃdx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　A
解析　由题意知ʃdx＝(x2＋ln x)|
＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2(舍负)．
6．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则ʃf(x)dx的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃdx＝＋ln x|＝＋1＝.故选A.
7．设a＝ʃcos xdx，b＝ʃsin xdx，则下列关系式成立的是(　　)
A．a>b B．a＋b<1
C．a 答案　A
解析　∵(sin x)′＝cos x，∴a＝ʃcos xdx＝sin x|＝sin 1.
∵(－cos x)′＝sin x，
∴b＝ʃsin xdx＝(－cos x)|＝1－cos 1.
∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a>b.故选A.
8.已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则ʃ[(x＋1)f(x)]dx等于(　　)

A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案　D
解析　由题图易知f(x)＝
所以ʃ[(x＋1)f(x)]dx＝ʃ(x＋1)(－x－1)dx＋
ʃ(x＋1)(x－1)dx＝ʃ(－x2－2x－1)dx＋ʃ(x2－1)dx
＝＋＝－－
＝－1，故选D.
9．ʃdx＝________.
答案　ln 2＋
解析　ʃdx＝＝ln 2＋－＝ln 2＋.
10．(2018·锦州调研)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为________．
答案　
解析　所求面积S＝
＝sin －＝.
11．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
答案　
解析　封闭图形如图所示，

则解得a＝.
12．(2018·包头模拟)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若ʃf(x)dx＝3f(x0)，x0>0，则x0＝________.
答案　
解析　∵f(x)＝ax2＋b，ʃf(x)dx＝3f(x0)，
∴ʃ(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b，
则9a＋3b＝3ax＋3b，∴x＝3，
又x0>0，∴x0＝.

13.由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　)

A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
答案　A
解析　由题意得，所求阴影部分的面积故选A.
14．(2018·呼和浩特质检)若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1 C．S2 答案　B
解析　方法一　S1＝＝－＝，
S2＝ln x|＝ln 2 S3＝ex|＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，
所以S2 方法二　S1，S2，S3分别表示曲线y＝x2，y＝，y＝ex与直线x＝1，x＝2及x轴围成的图形的面积，通过作图(图略)易知S2
15．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则ʃf(x)dx＝________.
答案　－
解析　因为f(x)＝x2＋2xf′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)．
所以f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，
所以f(x)＝x2－4x.
故ʃf(x)dx＝ʃ(x2－4x)dx＝＝－.
16．在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝ʃπx2dx＝＝.据此类比：将曲线y＝2ln x与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________.
答案　π(e2－1)
解析　类比已知结论，将曲线y＝2ln x与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为，积分变量为y，积分区间为[0,2]，即V＝ʃπeydy＝πey|＝π(e2－1)．