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2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9
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§2.9 函数模型及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
概念方法微思考
请用框图概括解函数应用题的一般步骤．
提示 解函数应用题的步骤
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使
题组二 教材改编
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．
答案 18
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0
∴当x＝3时，y最大．
5．一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是__________．
答案 [0,26]
解析 令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26]．
题组三 易错自纠
6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．
答案 －1
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.
7．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案 200
解析 由题意知100＝alog3(2＋1)，
∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．
当x＝8时，y＝100log39＝200.
题型一 用函数图象刻画变化过程
1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
2．(2018·呼和浩特联考)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型二 已知函数模型的实际问题
例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
答案 D
解析 设毛利润为L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
答案 2 500
解析 L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.
则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
题型三 构建函数模型的实际问题
命题点1 构造一次函数、二次函数模型
例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.
答案 19
解析 由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
答案 B
解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例3 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年降低的百分比为x(0
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
引申探究
若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？
解 设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，即≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
命题点3 构造y＝x＋(a>0)型函数
例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润＝12－，
∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
答案 2
解析 由题意可得BC＝－(2≤x<6)，
∴y＝＋≥2＝6.
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．
命题点4 构造分段函数模型
例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．
解 (1)当0
当x>40时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝
(2)①当0
②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值5 760.
综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6 104万美元．
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案 8
解析 设至少过滤n次才能达到市场要求，
则2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是________．
答案 300
解析 由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
用数学模型求解实际问题
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征．
例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
答案 4
解析 设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
答案 3 300
解析 设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．
素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题．
1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日
12
35 000
2018年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
答案 B
解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为＝8(升)．
3．(2018·大同模拟)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A．85元 B．90元 C．95元 D．100元
答案 C
解析 设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)[400－(x－90)·20]＝－20·[(x－95)2－225]，
∴当x＝95时，y最大．
4．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
答案 D
解析 设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有＝(p＋0.25)%，
解得x＝320.故该公司的年收入为320万元．
5．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2017年 B．2018年 C．2019年 D．2020年
答案 D
解析 设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2 016＝2 020.故选D.
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
答案 A
解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得∴e22k＝＝，
∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·192＝×192＝24(小时)．
8.(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
答案
解析 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b(k≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得
解得k＝，b＝，所以y＝x＋，
则当x＝6时，y＝.
9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y m，
则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(0
10．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
答案 a2
解析 令t＝(t≥0)，则A＝t2，
∴D＝at－t2＝－2＋a2，
∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h．(车身长度不计)
答案 12
解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km所用的时间，因此，t＝≥12，
当且仅当＝，即v＝时取“＝”．
故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由
解得0
P＝x－＝x－－30，
所以P＝－＋120.
因为00，
则(150－x)＋
≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，
即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最小．
答案 40
解析 设每小时的总费用为y元，
则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，
解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为 小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，
当且仅当0.6v＝，即v＝40时等号成立．
故总费用最小时轮船的速度为40海里/时．
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0
解析 由题意得x＝，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，
∵b－c＝(b－a)－(c－a)，
∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a)，
两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，
解得x＝.∵0
15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.
答案 8
解析 由题意知Ta＝21 ℃.
令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，
得37－21＝(85－21)·，∴h＝8.
令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·，∴t＝8.
16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
解 (1)由题中图象，设y＝
当t＝1时，由y＝4，得k＝4；
由1－a＝4，得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.50，得或
解得≤t≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续
4－＝(小时)．
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
概念方法微思考
请用框图概括解函数应用题的一般步骤．
提示 解函数应用题的步骤
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使
题组二 教材改编
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．
答案 18
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0
∴当x＝3时，y最大．
5．一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是__________．
答案 [0,26]
解析 令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26]．
题组三 易错自纠
6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．
答案 －1
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.
7．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案 200
解析 由题意知100＝alog3(2＋1)，
∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．
当x＝8时，y＝100log39＝200.
题型一 用函数图象刻画变化过程
1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
2．(2018·呼和浩特联考)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型二 已知函数模型的实际问题
例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
答案 D
解析 设毛利润为L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
答案 2 500
解析 L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.
则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
题型三 构建函数模型的实际问题
命题点1 构造一次函数、二次函数模型
例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.
答案 19
解析 由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
答案 B
解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例3 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年降低的百分比为x(0
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
引申探究
若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？
解 设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，即≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
命题点3 构造y＝x＋(a>0)型函数
例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润＝12－，
∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
答案 2
解析 由题意可得BC＝－(2≤x<6)，
∴y＝＋≥2＝6.
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．
命题点4 构造分段函数模型
例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．
解 (1)当0
当x>40时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝
(2)①当0
②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值5 760.
综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6 104万美元．
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案 8
解析 设至少过滤n次才能达到市场要求，
则2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是________．
答案 300
解析 由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
用数学模型求解实际问题
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征．
例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
答案 4
解析 设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
答案 3 300
解析 设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．
素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题．
1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日
12
35 000
2018年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
答案 B
解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为＝8(升)．
3．(2018·大同模拟)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A．85元 B．90元 C．95元 D．100元
答案 C
解析 设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)[400－(x－90)·20]＝－20·[(x－95)2－225]，
∴当x＝95时，y最大．
4．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
答案 D
解析 设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有＝(p＋0.25)%，
解得x＝320.故该公司的年收入为320万元．
5．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2017年 B．2018年 C．2019年 D．2020年
答案 D
解析 设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2 016＝2 020.故选D.
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
答案 A
解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得∴e22k＝＝，
∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·192＝×192＝24(小时)．
8.(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
答案
解析 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b(k≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得
解得k＝，b＝，所以y＝x＋，
则当x＝6时，y＝.
9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y m，
则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(0
10．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
答案 a2
解析 令t＝(t≥0)，则A＝t2，
∴D＝at－t2＝－2＋a2，
∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．
11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h．(车身长度不计)
答案 12
解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km所用的时间，因此，t＝≥12，
当且仅当＝，即v＝时取“＝”．
故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由
解得0
P＝x－＝x－－30，
所以P＝－＋120.
因为0
则(150－x)＋
≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，
即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最小．
答案 40
解析 设每小时的总费用为y元，
则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，
解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为 小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，
当且仅当0.6v＝，即v＝40时等号成立．
故总费用最小时轮船的速度为40海里/时．
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0
解析 由题意得x＝，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，
∵b－c＝(b－a)－(c－a)，
∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a)，
两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，
解得x＝.∵0
15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.
答案 8
解析 由题意知Ta＝21 ℃.
令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，
得37－21＝(85－21)·，∴h＝8.
令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·，∴t＝8.
16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
解 (1)由题中图象，设y＝
当t＝1时，由y＝4，得k＝4；
由1－a＝4，得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.50，得或
解得≤t≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续
4－＝(小时)．
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