2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第三章　导数及其应用3.2第2课时

第2课时　导数与函数的极值、最值

题型一　用导数求解函数极值问题

命题点1　根据函数图象判断极值
例1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案　D
解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2 当1 当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
命题点2　求已知函数的极值
例2　(2018·通辽质检)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．
解　f′(x)＝1－＝，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
命题点3　根据极值(点)求参数
例3　若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为f(x)＝－x2＋x＋1，
所以f′(x)＝x2－ax＋1.
函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，
可化为x2－ax＋1＝0在区间上有解，
即a＝x＋在区间上有解，
设t(x)＝x＋，则t′(x)＝1－，
令t′(x)>0，得1 所以t(x)在(1,4)上单调递增，在上单调递减．
所以t(x)min＝t(1)＝2，又t＝，t(4)＝，
因为a＝2时，f(x)在区间上不存在极值点，
所以a∈.
思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1 设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.
(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
解　f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x)>0，解得x<或x>1；
由f′(x)<0，解得 所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减，
所以函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，
则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，
即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．
①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.
综上，a的取值范围为.
题型二　用导数求函数的最值
例4　(2018·抚顺检测)已知函数f(x)＝－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．
解　(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f′(x)＝－＝，
由f′(x)>0，得01，
∴f(x)＝1－－ln x在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f(x)在上的最大值为f(1)＝1－－ln 1＝0.
又f＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，且f ∴f(x)在上的最小值为f＝2－e.
∴f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e.
思维升华 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
跟踪训练2 (2017·北京)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间上单调递减，
所以对任意x∈有h(x) 所以函数f(x)在区间上单调递减，
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
题型三　函数极值、最值的综合问题
例5 (2018·葫芦岛调研)已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
解　(1)f′(x)＝
＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以当－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax3＋2x2－4x＋5，当x＝时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在[－3,1]上的最大值为________．
答案　13
解析　f′(x)＝3ax2＋4x－4，
由f′＝0可得a＝1，经验证f为极值；
∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2



1
f′(x)
＋
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
8

13



4

∴函数f(x)在[－3,1]上的最大值为13.

利用导数求函数的最值
例 (12分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
规范解答　
解　(1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.[4分]
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分]
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
[6分]
②当≥2，即0 ③当1<<2，即 又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当 当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.[11分]
综上可知，当0 当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.[12分]

用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤
第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；
第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；
第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值；
第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．


1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
答案　C
解析　设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.
当x0，f(x)为增函数，当x1 同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为(　　)
A. B．6 C. D．7
答案　A
解析　f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极大值为f(－2)＝.
3．函数y＝xex的最小值是(　　)
A．－1 B．－e
C．－ D．不存在
答案　C
解析　因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－.故选C.
4．(2018·包头调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
答案　C
解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
答案　C
解析　∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
6．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　　)
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
答案　C
解析　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当00；
当x>3时，y′<0.
故当x＝3时，该商品的年利润最大．
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
∴方程ex＋a＝0有大于零的解，
∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案　
解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0得x＝±a，
当－a 当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.
∴a的取值范围是.
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
答案　－4
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
10．(2018·鞍山调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax ，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.
答案　1
解析　由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.
11．已知函数f(x)＝ax2－bln x在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－，
f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，
将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝x2－2ln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极小值＝f(1)＝1，无极大值．
12．(2018·丹东质检)已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解　(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0



f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)

极小值

极大值


故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，
函数f(x)的极大值点为x＝.
(2)①当－1≤x<1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上单调递减，在上单调递增．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，
所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，
当a≤0时，f(x)≤0；
当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，
则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.

13．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)
A．20 B．18
C．3 D．0
答案　A
解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．
又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.
由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，
从而t≥20，所以t的最小值是20.
14．(2018·乌海质检)设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为________．
答案　
解析　由已知条件可得|MN|＝t2－ln t，
设f(t)＝t2－ln t(t>0)，则f′(t)＝2t－，
令f′(t)＝0，得t＝，
当0时，f′(t)>0，
∴当t＝时，f(t)取得最小值．

15．已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．
答案　
解析　f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，由函数f(x)有两个极值点可得y＝－m和g(x)＝在(0，＋∞)上有两个交点，
g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－<0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增，g(x)≤g(1)＝，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(1)＝，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0；
若y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
只需0<－m<，故－ 16．已知函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]的最小值是2，求正实数a的值．
解　因为f′(x)＝a－＝，所以当0< 当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝2，解得a＝(舍去)．
综上，正实数a的值为e.