2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第六章第五节有关数列的4大难点问题突破

第五节有关数列的4大难点问题突破
难点一　数列在数学文化与实际问题中的应用
[典例]　(1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了(　　)
A．60里　　　　　　　 B．48里
C．36里 D．24里
(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元 的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
[解析]　(1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列{an}，
设等比数列的首项为a1，则＝378，
解得a1＝192，所以a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，
则a4＋a5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里．
(2)2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]
＝[(1＋p)5－1－p]．
[答案]　(1)C　(2)[(1＋p)5－1－p]
[解题技法]　解答数列应用题需过好“四关”
审题关
仔细阅读材料，认真理解题意
建模关
将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列
求解关
求解该数列问题
还原关
将所求的结果还原到实际问题中

[过关训练]
1．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：选B　设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.
2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的高度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同．
答案：3
难点二　数列中的新定义问题
[典例]　若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 019＝20 190，则b2b2 018的最大值是________．
[解析]　因为数列是“调和数列”，
所以bn＋1－bn＝d，
即数列{bn}是等差数列，
所以b1＋b2＋…＋b2 019＝＝＝20 190，
所以b2＋b2 018＝20.
又＞0，所以b2＞0，b2 018＞0，
所以b2＋b2 018＝20≥2，
即b2b2 018≤100(当且仅当b2＝b2 018时等号成立)，
因此b2b2 018的最大值为100.
[答案]　100

1．新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
2．新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．　　
[过关训练]
1．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n＋2)※2 019＝(2n)※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.
解析：设an＝(2n)※2 019，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.
所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.
答案：3 025
2．定义各项为正数的数列{pn}的“美数”为(n∈N*)．若各项为正数的数列{an}的“美数”为，且bn＝，则＋＋…＋＝________.
解析：因为各项为正数的数列{an}的“美数”为，
所以＝.
设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n(2n＋1)，
Sn－1＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－1(n≥2)．
又＝，所以a1＝3，满足式子an＝4n－1，
所以an＝4n－1(n∈N*)．
又bn＝，所以bn＝n，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
难点三　数列与函数的综合问题
[典例]　(2019·抚顺模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1，0)点，且在x＝－1处的切线斜率为－1.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列前n项的和Tn.
[解]　(1)函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1,0)点，
则a－b＝0，即a＝b.①
因为f′(x)＝2ax＋b，函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a＋b＝－1.②
由①②得a＝1，b＝1，
所以数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝n2＋n.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n.
当n＝1时，a1＝2符合上式，则an＝2n.
(2)由于an＝2n，
则＝＝，
则Tn＝
＝＝.
[解题技法]　数列与函数综合问题的类型及注意点
类型
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形
注意点
解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决

[过关训练]
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)有两个零点1,2，数列{xn}满足xn＋1＝xn－.设an＝ln，若a1＝，xn＞2，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)有两个零点1,2，可得f(x)＝a(x－1)(x－2)，则f′(x)＝a(2x－3)，
∴xn＋1＝xn－＝xn－＝.
由a1＝，xn＞2，
得an＋1＝ln＝ln＝2ln＝2an，
∴数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝×2n－1＝2n－2.
答案：2n－2
2．(2019·大庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在曲线y＝x2＋x上，数列{bn}满足bn＋bn＋2＝2bn＋1，b4＝11，{bn}的前5项和为45.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞恒成立的最大正整数k的值．
解：(1)由已知得Sn＝n2＋n，
当n＝1时，a1＝S1＝＋＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋2，
当n＝1时，符合上式．
所以an＝n＋2.
因为数列{bn}满足bn＋bn＋2＝2bn＋1，
所以数列{bn}为等差数列．设其公差为d，
则解得
所以bn＝2n＋3.
(2)由(1)得，cn＝＝＝＝，
所以Tn＝
＝.
因为Tn＋1－Tn＝＝＞0，
所以{Tn}是递增数列，所以Tn≥T1＝，
故要使Tn＞恒成立，只要T1＝＞恒成立，
解得k＜9，所以使不等式成立的最大正整数k的值为8.
难点四　数列与不等式的综合问题
[典例]　(2019·洛阳第一次统考)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝4，an＋1＝3Sn＋4(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
[解]　(1)∵an＋1＝3Sn＋4，
∴an＝3Sn－1＋4(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an.
又a2＝3a1＋4＝16＝4a1，
∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴an＝4n.
(2)证明：∵anbn＝log2an，∴bn＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋，
两式相减得，
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝2－
＝2×－
＝－－
＝－，
∴Tn＝－＜.

数列中不等式证明问题的解题策略
数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．
放缩法常见的放缩技巧有：
(1)＜＝.
(2)－＜＜－.
(3)2(－)＜＜2(－)．　　
[过关训练]
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*)．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2.
证明：(1)由题设得＝·，又＝2，
所以数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝.
(2)由(1)知bn＝＝＝，
因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1恒成立，
所以bn≤.
所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2＜2.

1．(2019·深圳模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得Sn＝1－＋－＋…＋－＝.
2．(2019·柳州模拟)设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，若x0＝6，则x2 019的值为(　　)
x
1
2
3
4
5
6
…
f(x)
5
1
3
2
6
4
…
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选D　∵数列{xn}满足x0＝6，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，∴利用表格可得x1＝f(x0)＝f(6)＝4，x2＝f(x1)＝f(4)＝2，x3＝f(x2)＝f(2)＝1，x4＝f(x3)＝f(1)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝6，x6＝f(x5)＝f(6)＝4，…，∴xn＋5＝xn，∴x2 019＝x403×5＋4＝x4＝5.
3．(2019·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
解析：选D　由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝.故选D.
4．已知数列{an}满足an＝若对于任意的n∈N*都有an＞an＋1，则实数λ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为an＞an＋1，所以数列{an}是递减数列，所以解得＜λ＜，故选B.
5．(2019·南昌模拟)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析：选B　∵数列{an}的通项公式为an＝，且其前n项和为＋＋…＋＝1－＝＝，
∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，∴该直线在y轴上的截距为－9.
6．(2019·郑州质检)已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝＝×n－1，即数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是.
7．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[1.2]＝1，[－1.3]＝－2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，则＝________.
解析：因为a1＝1，an＋1＝a＋an＞1，所以＝＝－，即＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－∈(0,1)．又＝1－，
所以＋＋…＋＝2 019－.
所以＝2 018.
答案：2 018
8．数列lg 1 000，lg(1 000·cos 60°)，lg(1 000·cos260°)，…，lg(1 000·cosn－160°)，…的前________项和为最大．
解析：依题意知，数列的通项an＝lg(1 000·cosn－160°)＝3＋(n－1)lg，公差d＝lg＜0，数列单调递减．
因为an＝3＋(n－1)lg＞0时，n≤10，所以数列的前10项均为正，从第11项开始为负，故可知数列前10项的和最大．
答案：10
9．(2019·济宁模拟)若数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，那么就称数列{an}具有性质P.已知数列{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，则a2 020＝____________.
解析：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2＝a5＝2，
则有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.
由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，
则a4＝21－3－2＝16，
进而分析可得a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝…＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝…＝a3n＋2＝2(n≥1)，
则a2 020＝a3×673＋1＝16.
答案：16
10．若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，…，S2 019中，正数的个数是____________．
解析：由于sin ＞0，sin ＞0，…，sin ＞0，sin ＝0，sin ＝－sin ＜0，…，sin ＝－sin ＜0，sin ＝0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13＝0，S14＝0，∵2 019＝14×144＋3，∴S1，S2，…，S2 019中，正数的个数是144×12＋3＝1 731.
答案：1 731
11．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为________．
解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后的数量和为＋300×5＋a，则＋300×5＋a≥5 000，即10a≥1 812，解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以a的最小值为182.
答案：182
12．(2019·遂宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,2)，b＝(1,1－2n)满足条件a⊥b.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝Sn＋2－2n＋1＝0，
∴Sn＝2n＋1－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
当n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，
∴an＝2n.
(2)∵cn＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋＋，
两边同乘，
得Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减得Tn＝＋＋…＋－＝1－，
∴Tn＝2－(n∈N*)．
13．(2019·安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且a1＝C.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列bn＝an(a2n－1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2＋n.
又Sn＝n2＋Bn＋C－1，
两式比较得＝1，B＝a1－，C－1＝0.又a1＝C，
解得d＝2，C＝1＝a1，B＝0，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)∵bn＝an(a2n－1＋1)＝(2n－1)(2×2n－1－1＋1)＝(2n－1)×2n，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，
∴2Tn＝22＋3×23＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，
∴－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1＝(3－2n)×2n＋1－6，
故Tn＝(2n－3)×2n＋1＋6.
14．(2018·淮南一模)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜.
解：(1)∵Sn＝－an，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
∴an＝an－1.
又∵S1＝－a1，∴a1＝，
∴an＝×n－1＝2n＋1.
(2)证明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．
∴＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝×
＝
＝－＜.
又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得证．