2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第六章第二节　等差数列及其前n项和

第二节　等差数列及其前n项和


1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．
4.了解等差数列与一次函数的关系．

突破点一　等差数列的基本运算


1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
二、填空题
1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．
答案：3
2．在等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．
答案：14
3．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．
答案：4
4．在等差数列{an}中，已知d＝2，S100＝10 000，则Sn＝________.
答案：n2


1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　 B．－10
C．10 D．12
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，
∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，
∴∴或
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，
∴Sn＝＝.

解决等差数列基本量计算问题的思路
(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．
(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝(　　)
A．10 B．30
C．40 D．20
解析：选B　法一：设数列是公差为d的等差数列，
∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.
法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.
2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C.
3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，
S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，
所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
(2)令cn＝13－an＝11－2n，
bn＝|cn|＝|11－2n|＝
设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.
当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.
当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.
突破点二　等差数列的性质及应用


等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．
(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.
(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.
(8)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝.
(9)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.

1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
解析：依题意，得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.
答案：74
2．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．
答案：2
3．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．
答案：26


考法一　等差数列的性质　
[例1]　(1)(2019·武汉模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝(　　)
A．25　　　　　　　 B．27
C．50 D．54
(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{an}中，若a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 010＋a2 018＝(　　)
A．10 B．15
C．20 D．40
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d－3，
∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝27.
(2)因为a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 019＝10.
由等差数列的性质可知，a1 010＝＝5，a2＋a2 018＝a1＋a2 019＝10，
所以a2＋a1 010＋a2 018＝10＋5＝15.故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
利用等差数列的性质求解问题的注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．
[提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　
考法二　等差数列前n项和最值问题　
等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题．
[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解]　(1)设{an}的公差为d，
由题意得3a1＋3d＝－15.
又a1＝－7，所以d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)法一：(二次函数法)
由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
法二：(通项变号法)
由(1)知an＝2n－9，则Sn＝＝n2－8n.
由Sn最小⇔
即∴≤n≤，
又n∈N*，∴n＝4，
此时Sn的最小值为S4＝－16.
[方法技巧]
求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)二次函数法
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)通项变号法
①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　　

1.设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S9＝3a8，则等于(　　)
A．15 B．17
C．19 D．21
解析：选A　因为S9＝a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝3a8，即3a5＝a8.
又S15＝a1＋a2＋…＋a15＝15a8，所以＝＝15.
2.在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选B　∵等差数列有2n＋1项，∴S奇＝，S偶＝.
又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝＝，∴n＝10.
3.等差数列{an}中，Sn为前n项和，且a1＝25，S17＝S9，请问：数列前多少项和最大？
解：法一：∵a1＝25，S17＝S9，
∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.
∵a1＝25>0，由得
∴当n＝13时，Sn有最大值．
法二：∵a1＝25，S17＝S9，
∴17a1＋d＝9a1＋d，
解得d＝－2.
从而Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
故前13项之和最大．
突破点三　等差数列的判定与证明
[典例]　(2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.
(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解]　(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列 是等差数列，设数列的公差为d.因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，所以－＝5＝5d，即d＝1，所以＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，故an＝.
(2)由(1)可知bn＝＝·＝－，故Sn＝－＋－＋…＋－＝.
[方法技巧]
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题定中的判问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列

[提醒]　判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
[针对训练]
(2019·沈阳模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则
∴∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2
＝－6n2－4n－6，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，
若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　)
A．30　　　　　　　　　 B．29
C．28 D．27
解析：选C　由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.
2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n－1}的前10项的和是(　　)
A．120 B．110
C．100 D．10
解析：选C　∵数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴S10＝＝＝100.故选C.
3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D　因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.
4．(2019·张掖质检)设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，则d＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C　∵{an}是等差数列，∴2a4－a6＝a4－2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2－a1＝2，故选C.
5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为(　　)
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，
由已知得即
解得∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·惠州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.选B.
2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选D　法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得＝1＋d，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15，故选D.
法二：S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，由＝a2可得＝a2，解得a2＝3或a2＝0(舍去)，则d＝a2－a1＝2，所以a8＝1＋7×2＝15，故选D.
3．(2019·南宁名校联考)等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于(　　)
A．－18 B．27
C．18 D．－27
解析：选B　法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝6，所以a1＋4d＝3.于是{an}的前9项和S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝9×3＝27，故选B.
法二：由等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以数列{an}的前9项和S9＝＝＝27，故选B.
4．(2019·中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　)
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：选D　∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.
5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升
C.升 D．升
解析：选B　设该等差数列为{an}，公差为d，
由题意得即解得
∴a5＝＋4×＝.故选B.
6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是(　　)
A．15 B．20
C．26 D．30
解析：选C　设数列{an}的公差为d，则d＝＝－3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋14，由⇒解得≤n≤，即n＝4，所以{an}的前4项和最大，且S4＝4×11＋×(－3)＝26，故选C.
7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018＝(　　)
A．2 018 B．－2 018
C．4 036 D．－4 036
解析：选C　设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，∴是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，又＝＝－2 015，∴是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，∴＝－2 015＋2 017×1＝2，∴S2 018＝4 036.故选C.
8．(2019·太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A．Sn<2Tn B．b4＝0
C．T7>b7 D．T5＝T6
解析：选D　因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.
9．(2019·长春模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn有最大值，且<－1，则使得Sn>0的n的最大值为(　　)
A．2 018 B．2 019
C．4 035 D．4 037
解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，由题意知d<0，a2 018>0，a2 018＋a2 019<0，所以S4 035＝＝4 035a2 018>0，S4 036＝＝<0，所以使得Sn>0的n的最大值为4 035，故选C.
10．(2019·武汉模拟)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为(　　)
A．－10 B．－12
C．－9 D．－13
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，
又a4a6＝275，联立，解得或
当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，
∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；
当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，
∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．
综上，anan＋1的最小值为－12.
11．(2019·广州适应性测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，∴
解得∴an＝2n－1.
答案：2n－1
12．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．
解析：法一：设数列{an}的公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴an＝6n－3.
法二：设数列{an}的公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，∴a6＝33，∴d＝＝6.∵a1＝3，∴an＝6n－3.
答案：an＝6n－3
13．(2019·南昌模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．
解析：依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0.又数列{an}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.
答案：6
14．(2019·石家庄重点高中摸底考试)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，则m＋n的值是________．
解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因为m>n>0，m，n∈N*，所以或解得或(舍去)，所以m＋n＝9.
答案：9
15．(2019·江西三校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝45，S6＝60.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a6＝S6－S5＝15，所以
解得a1＝5，d＝2，所以an＝2n＋3.
(2)bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝an－1＋an－2＋…＋a1＋3＝n2＋2n，
所以＝＝，
所以Tn＝＝.
16．(2019·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1 (1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列．
解：(1)∵a1，a2(a1 ∴a1＝1，a2＝5，∴等差数列{an}的公差为4，
∴Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.
(2)证明：当c＝－时，bn＝＝＝2n，
∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.
∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.