2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第二节函数的单调性与最值


第二节函数的单调性与最值

❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.
❸对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或>0.

1．函数的单调性❶
(1)增函数、减函数

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)❸，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)❹，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述


(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间❺.
2．函数的最值❻
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值
x1，x2的特征：
(1)任意性；
(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)；
(3)属于同一个单调区间.
对于∀x1，x2∈D，
都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0.
(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．
(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
[熟记常用结论]
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．
(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．
2．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)
(4)所有的单调函数都有最值．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、选填题
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：选A　y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.
2．函数f(x)＝－x＋在区间上的最大值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A　∵函数y＝－x与y＝在x∈上都是减函数，∴函数f(x)＝－x＋在上是减函数，故f(x)的最大值为f(－2)＝2－＝.
3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．
答案：[－1,1]和[5,7]
4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
5．若函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则满足f(2x－1)＜f(1)的实数x的取值范围为________．
解析：由题意知，函数f(x)在定义域内为减函数，
∵f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1，
即x>1，∴x的取值范围为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)


[考法全析]
考法(一)　确定不含参函数的单调性(区间)
[例1]　(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
(2)函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．
[解析]　 (1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．
(2)令u＝x2＋x－6，
则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，
∴y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]
考法(二)　确定含参函数的单调性(区间)
[例2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解]　法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
则f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
法二：(导数法)f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
[规律探求]

看个性
考法(一)中的函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可．
考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法．注意分类讨论思想的应用
找共性
无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；
②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断

[过关训练]
1．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　令t＝，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g(t)＝t是减函数，所以f(x)的单调递增区间即t＝的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t＝的单调递减区间为，即原函数的单调递增区间为.故选D.
2．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1x2－a)．
当0＜x1＜x2≤时，
0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；
当≤x1＜x2时，x1x2>a，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

[考法全析]
考法(一)　比较函数值的大小
[例1]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[解析]　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1＜2＜＜e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.
[答案]　D
考法(二)　解函数不等式
[例2]　(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．
[解析]　(1)由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.
(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，
解得0≤a＜1.
[答案]　(1)C　(2)[0,1)
考法(三)　利用函数的单调性求参数
[例3]　若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．
[解析]　由题意知，
解得
所以a∈.
[答案]　
[规律探求]
看个性
考法(一)是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．
考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．
考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较
找共性
对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：


[过关训练]
1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)＜0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B　因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
所以当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，
当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)＜0，f(x2)>0.故选B.
2．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析：选D　作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
3．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
解析：∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f＜f(logx)＜f，
∴logx>或－＜logx＜0，
解得0＜x＜或1＜x＜3.
所以原不等式的解集为.
答案：

[典例精析]
(1)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)函数f(x)＝的最大值为________．
[解析]　(1)由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，
y2＝4＋2·＝4＋2，
当x＝－1时，y取得最大值M＝2；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以＝.
(2)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
[答案]　(1)C　(2)2
[解题技法]
求函数最值(值域)的常用方法
单调性法
易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)
图象法
能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)
基本不等式法
分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)

[过关训练]
1．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
所以即
所以所以a＋b＝6.
答案：6
2．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.
答案：
3．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
答案：