2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第二节函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值

❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.

❸对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或>0.

1．函数的单调性❶

(1)增函数、减函数

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间❺.

2．函数的最值❻

x1，x2的特征：

(1)任意性；

(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)；

(3)属于同一个单调区间.

对于∀x1，x2∈D，

都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0.

(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．

(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．

(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.

[熟记常用结论]

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．

(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．

2．复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．

3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)

(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)

(4)所有的单调函数都有最值．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)

A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝3－x

C．y＝  D．y＝－x2＋4

解析：选A　y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.

2．函数f(x)＝－x＋在区间上的最大值是(　　)

A.  B．－

C．－2  D．2

解析：选A　∵函数y＝－x与y＝在x∈上都是减函数，∴函数f(x)＝－x＋在上是减函数，故f(x)的最大值为f(－2)＝2－＝.

3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．

答案：[－1,1]和[5,7]

4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.

答案：

5．若函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则满足f(2x－1)＜f(1)的实数x的取值范围为________．

解析：由题意知，函数f(x)在定义域内为减函数，

∵f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1，

即x>1，∴x的取值范围为(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

[考法全析]

考法(一)　确定不含参函数的单调性(区间)

[例1]　(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和  D.和[2，＋∞)

(2)函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．

[解析]　 (1)y＝|x2－3x＋2|

＝

如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．

(2)令u＝x2＋x－6，

则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．

令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，

∴y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．

[答案]　(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]

考法(二)　确定含参函数的单调性(区间)

[例2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

[解]　法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，

f(x)＝a＝a，

则f(x1)－f(x2)＝a－a

＝.

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

法二：(导数法)f′(x)＝

＝＝－.

当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

[规律探求]

[过关训练]

1．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　令t＝，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g(t)＝t是减函数，所以f(x)的单调递增区间即t＝的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t＝的单调递减区间为，即原函数的单调递增区间为.故选D.

2．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

解：设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝(x1x2－a)．

当0＜x1＜x2≤时，

0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；

当≤x1＜x2时，x1x2>a，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．

综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

[考法全析]

考法(一)　比较函数值的大小

[例1]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a

C．a>c>b  D．b>a>c

[解析]　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∵1＜2＜＜e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.

[答案]　D

考法(二)　解函数不等式

[例2]　(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)  B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

(2)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．

[解析]　(1)由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.

(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，

所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，

解得0≤a＜1.

[答案]　(1)C　(2)[0,1)

考法(三)　利用函数的单调性求参数

[例3]　若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．

[解析]　由题意知，

解得

所以a∈.

[答案]　

[规律探求]

[过关训练]

1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0  B．f(x1)＜0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)＜0  D．f(x1)>0，f(x2)>0

解析：选B　因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，

所以当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)＜0，f(x2)>0.故选B.

2．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]  B．[1,4]

C．[4，＋∞)  D．(－∞，1]∪[4，＋∞)

解析：选D　作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.

3．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．

解析：∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，

又f＝0，知f＝－f＝0.

故原不等式f(logx)>0可化为

f(logx)>f或f＜f(logx)＜f，

∴logx>或－＜logx＜0，

解得0＜x＜或1＜x＜3.

所以原不等式的解集为.

答案：

[典例精析]

(1)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

(2)函数f(x)＝的最大值为________．

[解析]　(1)由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，

y2＝4＋2·＝4＋2，

当x＝－1时，y取得最大值M＝2；

当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以＝.

(2)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.

故函数f(x)的最大值为2.

[答案]　(1)C　(2)2

[解题技法]

求函数最值(值域)的常用方法

[过关训练]

1．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，

所以即

所以所以a＋b＝6.

答案：6

2．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．

解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.

答案：

3．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．

解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

∵∈，

∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.

答案：

一、题点全面练

1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)

A．y＝　　　　　　　 B．y＝cos x

C．y＝ln(x＋1)  D．y＝2－x

解析：选D　函数y＝2－x＝x在(－1,1)上为减函数．

2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(4，＋∞)

解析：选D　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．

3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　)

A．－3  B．－2

C．－1  D．1

解析：选B　因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，

即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.

4．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，1)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)，(1，＋∞)  D．(－∞，－1)，(1，＋∞)

解析：选C　因为f(x)＝＝－1＋，

所以f(x)的图象是由y＝－的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.

5．(2019·赣州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，0]  B．[0,1)

C．[1，＋∞)  D．[－1,0]

解析：选B　由题知，g(x)＝可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1)．

6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．[－6，－4]

C.  D.

解析：选B　由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．

7．函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)

A．(1,2)  B．(－1,2)

C．[1,2)  D．[－1,2)

解析：选D　函数y＝＝＝－1，

且在x∈(－1，＋∞)时单调递减，在x＝2时，y＝0；

根据题意x∈(m，n]时y的最小值为0，

所以－1≤m＜2.

8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)

A．有最小值  B．有最大值

C．是减函数  D．是增函数

解析：选D　由题意知a＜1，

又函数g(x)＝x＋－2a在[，＋∞)上为增函数，故选D.

9．(2019·湖南四校联考)若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，

∴f(x)＝

又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴∴－4≤a≤0，

∴实数a的取值范围是[－4,0]．

答案：[－4,0]

10．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．

解析：∵≤f(x)≤，∴≤≤.

令t＝，

则f(x)＝(1－t2)，

令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，

即y＝－(t－1)2＋1.

∴当t＝时，y有最小值；

当t＝时，y有最大值.

∴g(x)的值域为.

答案：

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是(　　)

A．(－1,1]  B．(－∞，1)

C．[1,3)  D．(1，＋∞)

解析：选C　令t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0，得－1＜x＜3.

函数t＝－x2＋2x＋3的对称轴方程为x＝1，

则函数t＝－x2＋2x＋3在[1,3)上为减函数，

而函数y＝logt为定义域内的减函数，

所以函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是[1,3)．

2．(2019·西安模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．[1,2]

C．[1，＋∞)  D．[2，＋∞)

解析：选C　要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1.故选C.

3．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.

又函数f(x)在R上单调，则二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，

所以函数f(x)在R上单调递减，

故有即

所以a∈.

4．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．

解析：由已知可得解得－3＜a＜－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)

(二)技法专练——活用快得分

5．[构造法]已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　)

A．m－n＜0  B．m－n>0

C．m＋n＜0  D．m＋n>0

解析：选A　设F(x)＝f(x)－f(－x)，

由于f(x)是R上的减函数，

∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，

∴F(x)是R上的减函数，

∴当m＜n时，有F(m)>F(n)，

即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．

因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A.

6．[三角换元法]函数y＝x＋的最小值为________．

解析：原函数可化为：y＝x＋.

由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤，

令x－5＝cos α，

那么|cos α|≤⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π，

于是y＝cos α＋5＋sin α＝2sin＋5.

因为α＋∈，所以sin∈，

所以函数的最小值为5－.

答案：5－

7．[数形结合法]设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．

解析：因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，

当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．

而f(x)的值域为[－1，＋∞)，

f(g(x))的值域为[0，＋∞)，

因为g(x)是二次函数，

所以g(x)的值域是[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞)

(三)素养专练——学会更学通

8．[数学抽象]已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　　)

A．(－1,2)

B．(1,4)

C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)

解析：选D　由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．

9．[数学运算]已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．

解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，

因为f(x2)－f(x1)＝－

＝－＝>0，

所以f(x2)>f(x1)，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)因为f(x)在上的值域是，

又由(1)得f(x)在上是单调增函数，

所以f＝，f(2)＝2，

解得a＝.

10．[数学运算]已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

解：(1)由x＋－2>0，得>0，

当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；

当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x>1＋}．

(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，

所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.

(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

即x＋－2>1对任意x∈[2，＋∞)恒成立．

所以a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，

而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2.

即a的取值范围为(2，＋∞)．