2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第七节对数与对数函数

第七节对数与对数函数

1．对数

2．对数函数的图象与性质

谨记运算法则有关口诀

积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.

①对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．

②在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．

③函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称.

[熟记常用结论]

1．换底公式的两个重要结论

(1)logab＝；(2)logambn＝logab.

其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.

2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)

(2)log2x2＝2log2x.(　　)

(3)当x＞1时，logax＞0.(　　)

(4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)

(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

二、选填题

1．函数y＝lg|x|(　　)

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

解析：选B　y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

2．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.

3．函数y＝的定义域为______．

解析：要使函数有意义，须满足

解得＜x≤1.

答案：

4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．

解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．

答案：(2,2)

5．计算：log23·log34＋()log34＝________.

解析：log23·log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4.

答案：4

[题组练透]

1．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．

解析：由已知得a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12.

答案：12

2．已知log189＝a,18b＝5，则log3645＝________(用关于a，b的式子表示)．

解析：因为18b＝5，所以log185＝b，又log189＝a，于是log3645＝＝＝＝.

答案：

3．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；

(2)；

(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．

解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52

＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5

＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

(2)原式＝

＝＝－.

(3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83

＝·＋·＋·＋·

＝＋＋＋＝.

[名师微点]

对数运算的一般思路

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；

(2)将同底对数的和、差、倍合并；

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；

(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

[典例精析]

[例1]　(2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)

[解析]　令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．

[答案]　A

[例2]　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)

A.　　　　　　　　　B.

C．(1，)  D．(，2)

[解析]　易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，

解得a＞，∴＜a＜1，故选B.

[答案]　B

1．(变条件)将例2中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围为__________．

解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．

由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.

答案：

2．(变条件)若例2变为：已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为__________．

解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．

当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示，

要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，

所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.

即实数a的取值范围是.

答案：

3．(变条件)若例2变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________．

解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，

由图象知 ＜loga，

所以解得＜a＜1.

即实数a的取值范围是.

答案：

[解题技法]

(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[过关训练]

1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

解析：选B　若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象大致如图所示．故选B.

2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)

A．x1x2＜0  B．x1x2＝0

C．x1x2＞1  D．0＜x1x2＜1

解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．

显然x1＜0，x2＜0.

不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，

所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，

此时10x1＜10x2，

即lg(－x1)＜－lg(－x2)，

由此得lg(x1x2)＜0，

所以0＜x1x2＜1，故选D.

[考法全析]

考法(一)　比较对数值的大小

[例1]　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b

C．b＞a＞c  D．b＞c＞a

[解析]　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.

[答案]　A

考法(二)　解简单的对数不等式

[例2]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0,1)

[解析]　由题意得

或

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

[答案]　C

考法(三)　对数函数的综合应用

[例3]　若函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.

二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需

解得≤m＜2.

[答案]　C

[规律探求]

[过关训练]

1．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．c＜b＜a

C．c＜a＜b  D．b＜a＜c

解析：选A　∵a＞0，∴2a＞1，∴loga＞1，∴0＜a＜.

∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1.

∵c＞0，∴c＞0，∴log2c＞0，∴c＞1.

∴0＜a＜＜b＜1＜c，故选A.

2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A．a＋b＜ab＜0  B．ab＜a＋b＜0

C．a＋b＜0＜ab  D．ab＜0＜a＋b

解析：选B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，

∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.

3．若函数f(x)＝loga(x2－2x＋a)(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的值等于________．

解析：令g(x)＝x2－2x＋a，则f(x)＝loga[g(x)]．

①若a＞1，由于函数f(x)有最小值，

则g(x)应有最小值 ，

而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6，

当x＝时，取最小值a－6，

因此有解得a＝9.

②若0＜a＜1，由于函数f(x)有最小值，

则g(x)应有最大值，

而g(x)不存在最大值，不符合题意．综上，实数a＝9.

答案：9

4．(2019·西安模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析：当a＞1时，f(x)＞1等价于8－ax＞a在[1,2]上恒成立．

即a＜min＝，∴1＜a＜.

当0＜a＜1时，f(x)＞1等价于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min.

解得a＞4且a＜4，故不存在．

综上可知，a的取值范围为.

答案：