2020版高考数学一轮复习课后限时集训31《数列求和》(理数)（含解析） 试卷
展开课后限时集训(三十一)
(建议用时：60分钟)
A组 基础达标
一、选择题
1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
A．200 B．－200
C．400 D．－400
B [S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]
2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为( )
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
A [n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.]
3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )
A．120 B．99
C．11 D．121
A [an＝
＝
＝－，
所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.
即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.]
4.＋＋＋…＋的值为( )
A. B.－
C.－ D.－＋
C [因为＝＝＝－，
所以＋＋＋…＋
＝＝
＝－.]
5．Sn＝＋＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
B [由Sn＝＋＋＋…＋，①
得Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，
Sn＝＋＋＋…＋－
＝－，
所以Sn＝.]
二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________.
[由得
∴Sn＝n×1＋×1＝，
＝＝2.
∴ ＝＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.]
7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．
2n＋1－n－2 [an＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，
则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
8．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．
2n＋1－n－2 [因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②
所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.]
三、解答题
9．(2019·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
所以an＝2an－1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＝2n－1，
所以bn＝(2n－1)×2n－1，
所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①
2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②
由①－②得
－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n
＝1＋2×－(2n－1)×2n
＝(3－2n)×2n－3，
所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.
10．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.
[解] (1)＝(32－1)＝3，
当n≥2时，＝－＋＋…＋＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，
当n＝1时，＝32n－1也成立，
所以an＝.
(2)bn＝log3＝－(2n－1)，
因为＝＝，所以＋＋…＋＝＝＝.
B组 能力提升
1．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值为( )
A．18＋ B．20＋
C．22＋ D．18＋
B [设an＝1＋＋＋…＋＝＝2.
则原式＝a1＋a2＋…＋a11
＝2＋2＋…＋2
＝2
＝2
＝2
＝2＝20＋.]
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝( )
A．22 016－1 B．3·21 008－3
C．3·21 008－1 D．3·21 007－2
B [a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.
∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)
＝＋＝3·21 008－3.故选B.]
3．(2019·龙岩模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，对n∈N*都有Sn＝1－an，若bn＝log2an，则＋＋…＋＝________.
[对n∈N*都有Sn＝1－an，当n＝1时，a1＝1－a1，解得a1＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－an－(1－an－1)，化为an＝an－1.
∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为.∴an＝n.
∴bn＝log2an＝－n.
∴＝＝－.
则＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.]
4．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
[解] (1)设{an}的公比为q，
由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，
所以an＝2n.
(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以bn＝2n＋1.
令cn＝，则cn＝.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得
Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
