2020版高考数学一轮复习课后限时集训34《空间几何体的结构特征直观图及表面积与体积》(理数)（含解析） 试卷
展开课后限时集训(三十四)
(建议用时：60分钟)
A组 基础达标
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
B [如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．
图 ① 图②
根据棱台的定义，可知C，D不正确．]
2．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B.
C．2π D．4π
B [依题意知，该几何体是以为底面半径，为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝π×()2×2＝π.]
3．(2018·南昌模拟)如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
D [以C为原点，以CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使得CA＝C′A′＝6，在y轴上取点B，使得BC＝2B′C′＝8，则AB＝＝10.]
4．(2019·山西六校联考)如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9 cm，高为36 cm.玻璃杯内水深为33 cm，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭．如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为( )
A．900π cm2 B．450π cm2
C．800π cm2 D．400π cm2
A [由题意，知球嵌入玻璃杯的高度h＝36－33＝3 cm.设球的半径为R，则有R2＝92＋(R－3)2，解得R＝15 cm，所以该球的表面积S＝4πR2＝900π cm2，故选A.]
5．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.π B.π
C．16π D．32π
B [设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B.]
二、填空题
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
[设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝.]
7．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．
(5＋)π [由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.]
8．(2019·惠州模拟)已知三棱锥SABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥SABC的外接球的表面积为________．
100π [将三棱锥SABC放在长方体中(图略)，易知三棱锥SABC所在长方体的外接球，即为三棱锥SABC的外接球，所以三棱锥SABC的外接球的直径2R＝＝10，即三棱锥S ABC的外接球的半径R＝5，所以三棱锥SABC的外接球的表面积S＝4πR2＝100π.]
三、解答题
9．如图，从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．
(1)若选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；
(2)求棱长为a的正四面体外接球的半径．
[解] (1)如图所示，选取的四个点分别为A，D1，B1，C.
(2)棱长为a的正四面体外接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长a，所以正方体的边长为a，因此外接球的半径为×a＝a.
10．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
[解] (1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.
B组 能力提升
1．设M是球O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积的比值为( )
A. B. C. D.
D [设分别过M，O作垂直于OP的面截球所得的两个圆的半径分别为r1，r2，球的半径为R，
则r＝R2－＝R2，r＝R2，
∴r∶r＝R2∶R2＝3∶4，
∴这两个圆的面积的比值为.]
2.(2019·湖北联考)一个帐篷下部的形状是高为2 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点D到底面中心O1的距离为________时，帐篷的体积最大．
m [设DO1为x米，(2＜x＜5)
则由题意可得正六棱锥底面边长为：＝ m，
于是底面正六边形的面积为6××()2＝(5＋4x－x2)，
所以帐篷的体积为V(x)＝(5＋4x－x2)×2＋×(5＋4x－x2)(x－2)＝(5＋4x－x2)＝(5＋4x－x2)(x＋4)，
所以V′(x)＝(21－3x2)，可得当2＜x＜时，V′(x)＞0，则函数V(x)单调递增；
当＜x＜5时，V′(x)＜0，则函数V(x)单调递减，所以当x＝时，V(x)取得最大值．]
3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD＋DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为________．
[将直三棱柱ABCA1B1C1的两侧面展开成矩形ACC1A1，如图，连接AC1，交BB1于D，此时AD＋DC1最小．
∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，
∴当AD＋DC1最小时，BD＝1，此时三棱锥DABC1的体积为
VDABC1＝VC1ABD＝·S△ABD·B1C1
＝×AB·BD·B1C1
＝××1×1×2＝.]
4.(2019·沈阳质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求三棱锥C1ABC的体积．
[解] (1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC，
又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC.
(2)∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离．
由(1)知A1O⊥平面ABC，且A1O＝＝，
∴VC1ABC＝VA1ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.
