2020版高考数学一轮复习课后限时集训28《数列的概念与简单表示法》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(二十八)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于(    )

A.  B．cos

C．cosπ   D．cosπ

[答案]　D

2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(    )

A．2n           B．2n－1

C．2n   D．2n－1

C　[当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.]

3．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(    )

A.         B.   C.   　D.

A　[由题意知a1·a2＝4，a1·a2·a3＝9，a1a2a3a4＝16，a1a2a3a4a5＝25，则a3＝，a5＝，则a3＋a5＝，故选A.]

4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的一个通项公式为(    )

A．an＝n－1           B．an＝(n－1)2

C．an＝(n－1)3   D．an＝(n－1)4

B　[由题意知an－an－1＝2n－3(n≥2)，

则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1

＝＝(n－1)2.故选B.]

5．若数列{an}满足a1＝，an＝1－(n≥2，且n∈N*)，则a2 018等于(    )

A．－1          B.   C．1      D．2

A　[a1＝，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，….

因此数列{an}是以3为周期的数列．

从而a2 018＝a2＝－1，故选A.]

二、填空题

6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________.

n－1　[当n＝1时，a1＝S1＝.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2－(n－1)＝－1.

又a1＝适合上式，则an＝n－1.]

7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.

　[由an＝an－1得＝，

∴an＝××…××a1

＝××…××1＝.

当n＝1时，a1＝1适合上式．

故an＝.]

8．(2019·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10＝________.

256　[因为a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)，所以{Sn－1}是等比数列，且公比为2，所以Sn－1＝2n－1，所以Sn＝2n－1＋1，所以a10＝S10－S9＝29－28＝256.]

三、解答题

9．已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.

[解]　(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.

由于a1不适合此式，所以an＝

10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，

可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，

解得a2＝2；

同理a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

B组　能力提升

1．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为(    )

A．an＝2n－1   B．an＝3n－1

C．an＝2n   D．an＝3n

C　[∵a－an＋1an－2a＝0，

∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.

∵数列{an}的各项均为正数，

∴an＋1＋an＞0，

∴an＋1－2an＝0，

即an＋1＝2an(n∈N*)，

∴数列{an}是以2为公比的等比数列．

∵a1＝2，∴an＝2n.]

2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(    )

A．an＝n           B．an＝n2

C．an＝   D．an＝

B　[∵＋＋…＋＝，

∴＋＋…＋＝(n≥2)，

两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①

又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.]

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.

　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，

两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，

∴an＋1＝4an(n≥2)．

∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，

∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，

∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．

故an＝]

4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

[解]　(1)由n2－5n＋4<0，

解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，

又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．