2020版高考数学一轮复习课后限时集训23《正弦定理余弦定理应用举例》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(二十三)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(    )

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]

2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(    )

A．a km   B.a km

C.a km   D．2a km

B　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，

∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.]

3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(    )

A．5 m          B．15 m

C．5 m   D．15 m

D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得＝，

解得BC＝15(m)．

在Rt△ABC中，

AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．]

4．(2019·重庆模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(    )

A．10海里           B．10海里

C．20海里   D．20海里

A　[如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，

解得BC＝10(海里)．]

5．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(               

A．20海里   B．40海里

C．20(1＋)海里   D．40海里

A　[连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝40.

在△ABD中，由余弦定理得

AB＝＝20.

故选A.

]

二、填空题

6．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的________的方向上．

北偏西10°　[由题意知∠ABC＝(180°－80°)＝50°，

则灯塔A在灯塔B的北偏西10°的方向上．]

7．(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.

600　[在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中，

∵tan∠DAC＝＝，

∴DC＝600×＝600.]

8．如图所示，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________ m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.

22.6　[由题意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，则BC＝100≈141.4×2.236，又历时14 s，所以速度为≈22.6 m/s.]

三、解答题

9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)

[解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，

∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.

在△ABC中，＝，

∴BC＝＝＝40.

在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60°

＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600.

∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒．

10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

[解]　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.

所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，

即sin α＝＝＝.

B组　能力提升

1．(2019·六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 (    )

A．50 m          B．100 m   C．120 m   D．150 m

A　[设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos  60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．]

2．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为330 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.

990　[由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.

又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，

∴AB＝BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，

∴PQ＝PA.

在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝990，

故PQ＝990，∴P，Q两点间的距离为990 m．]

3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，从A处沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.

－1　[由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cos θ＝－1.]

4．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为2千米．

(1)船的航行速度是每小时多少千米？

(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？

[解]　(1)在△BCP中，tan∠PBC＝⇒BC＝2.

在△ABC中，由正弦定理得：＝⇒＝，所以AB＝2(＋1)，

船的航行速度是每小时6(＋1)千米．

(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝，

在△BCD中，由正弦定理得：＝⇒

sin∠CDB＝，所以，山顶位于D处南偏东45°.