2020版高考数学一轮复习课后限时集训20《函数y＝Asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(二十)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(    )

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

A　[y＝sin＝sin 2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象．由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin 2x在区间上单调递增．故选A.]

2．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(    )

A．向右平移个单位  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位   D．向左平移个单位

A　[由于y＝sin 3x＋cos 3x＝sin，y＝cos 3x＝sin，因此只需将y＝cos 3x的图象向右平移个单位，即可得到y＝sin3x－＋＝sin的图象．]

3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(    )

A．－           B．－

C．－   D．－1

D　[由图象可得A＝，最小正周期T＝4×－＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，选项D正确．]

4．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(    )

A．－5安           B．5安

C．5安   D．10安

A　[由图象知A＝10，周期T＝2＝，

则ω＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得

sin＝1，则＋φ＝2kπ＋，k∈Z.

所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜知，φ＝.

所以I＝10sin，当t＝时，I＝10sinπ＋＝－5.故选A.]

5．(2019·西安模拟)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(    )

A．t＝，s的最小值为

B．t＝，s的最小值为

C．t＝，s的最小值为

D．t＝，s的最小值为

A　[因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.所以P.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′.

因为P′在函数y＝sin 2x的图象上，所以sin 2＝，即cos 2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值为.]

二、填空题

6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度．得到y＝sin x的图象，则f＝________.

　[y＝sin x y＝sin

y＝sin，

即f(x)＝sin，

∴f＝sin＝sin＝.]

7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.

　[由题图可知，T＝2＝，

所以ω＝2，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．

又|φ|＜，所以φ＝.

又f(0)＝1，所以Atan＝1，得A＝1，

所以f(x)＝tan，

所以f＝tan＝tan＝.]

8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.

20.5　[依题意知，a＝＝23，A＝＝5，

∴y＝23＋5cos，

当x＝10时，

y＝23＋5cos＝20.5.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝sin＋1.

(1)求它的振幅、最小正周期、初相；

(2)画出函数y＝f(x)在上的图象．

[解]　(1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－.

(2)图象如图所示．

10．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)，赛道的后一部分为折线段MNP，求A，ω的值和M，P两点间的距离．

[解]　依题意，有A＝2，＝3，

又T＝，所以ω＝，

所以y＝2sinx，x∈[0,4]，

所以当x＝4时，y＝2sin＝3，

所以M(4,3)，又P(8,0)，

所以MP＝

＝＝5(km)，

即M，P两点间的距离为5 km.

B组　能力提升

1．(2019·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．

如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．则下列叙述错误的是(    )

A．R＝6，ω＝，φ＝－

B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减

D．当t＝20时，|PA|＝6

C　[由题意，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝－3，代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜，∴φ＝－.故A正确；

f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，∴点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；

当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)不单调，C不正确；

当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确，故选C.]

2．(2019·大同模拟)函数f(x)＝3·sin ωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC是等边三角形，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值为(    )

A.   B.

C．9＋1   D.

D　[由题意知，AB＝T，则T＝6，

∴T＝12，由T＝＝12得ω＝.

∴f(x)＝3sinx，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)

＝3sin＋3sin＋3sin

＝3×＝，故选D.]

3．(2019·辽宁五校联考)设ω＞0，函数y＝2cosωx＋的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是________．

　[函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos＝2cosωx＋－ω的图象，由已知得cos＝sin，所以sin＝sin，所以＋＋2kπ＝ωx＋，k∈Z，所以ω＝＋10k，k∈Z，又因为ω＞0，所以ω的最小值为.]

4．(2017·山东高考)设函数f(x)＝sin＋sinωx－，其中0<ω<3，已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

[解]　(1因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin .

由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，

所以ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin ，

所以g(x)＝sin

＝sin.

因为x∈，

所以x－∈.

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.