2020版高考数学一轮复习课后限时集训45《直线与圆圆与圆的位置关系》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(四十五)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·广州模拟)若一个圆的圆心为(0,1)，且该圆与直线y=x＋3相切，则该圆的标准方程是(　　)

A．x2＋(y－1)2=2　　 B．(x－1)2＋y2=2

C．x2＋(y－1)2=4 D．(x－1)2＋y2=4

A　[由于圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2=r2(r＞0)，因为该圆与直线y=x＋3相切，故r==，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2=2.故选A．]

2．(2019·昆明摸底调研)直线l：x－y=0与圆C：(x－2)2＋y2=6相交于A，B两点，则|AB|=(　　)

A．2　　　　 B．4

C．　　　　 D.

B　[由题意知，圆C的圆心为C(2,0)，半径为，圆心C到直线l的距离为，所以|AB|=2=4，故选B.]

3．已知圆O1的方程为x2＋y2=4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2=1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)

A．{1，－1} B．{3，－3}

C．{1，－1,3，－3} D．{5，－5,3，－3}

C　[因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|=1；外切时，|a|=3，所以实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}．]

4．已知直线l：kx－y－3=0与圆O：x2＋y2=4交于A，B两点，且·=2，则k=(　　)

A．2 B．±

C．±2 D．

B　[圆O：x2＋y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，

设与的夹角为θ，则

2×2×cos θ=2，

解得cos θ=，θ=，

∴圆心到直线l的距离为2cos=，

可得=，解得k=±.]

5．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5=0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)

A．2　　　　B．3

C．4　　　　D．5

A　[将圆C：x2＋y2－6x＋5=0，整理得其标准方程为(x－3)2＋y2=4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.

∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|==，∴|AB|=2=2.故选A．]

二、填空题

6．(2019·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2=0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2=16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．

－1　[由题意知，圆C的半径是4，△ABC为直角三角形，则圆心C(1，a)到直线ax＋y－2=0的距离为2，所以=2，解得a=－1.]

7．(2019·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11=0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0上，则|PQ|的最小值是________．

3－5　[把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得

(x－4)2＋(y－2)2=9，(x＋2)2＋(y＋1)2=4.

圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；

圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.

圆心距d==3＞5.

故圆C1与圆C2相离，所以|PQ|的最小值是3－5.]

8．若⊙O：x2＋y2=5与⊙O1：(x－m)2＋y2=20(m∈R)相交于A，B两点且两圆在点A处切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

4　[由题意⊙O1与⊙O在A处切线互相垂直，则两切线分别过另一圆圆心，∴O1A⊥OA．

又|OA|=，|O1A|=2，∴|O1O|=5.

又A，B关于O1O所在直线对称，∴AB是Rt△OAO1斜边上高的2倍．∴|AB|=2×=4.]

三、解答题

9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y=1相切，且圆心在直线y=－2x上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

[解]　(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则=.

化简，得a2－2a＋1=0，解得a=1.

∴C(1，－2)，半径r=|AC|==.

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，

此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由题意得=1，解得k=－，

∴直线l的方程为y=－x.

综上所述，直线l的方程为x=0或y=－x.

10．(2018·河北邢台月考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2=1，直线l的方程为2x－y=0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)若∠APB=60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

[解]　(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|=2，设P(a,2a)，则=2，解得a=2或a=，∴点P的坐标为(2,4)或.

(2)设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)=0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b=0，即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)=0.

由得或

∴该圆必经过定点(0,4)和.

B组　能力提升

1．已知两点A(－m,0)和B(2＋m,0)(m＞0)，若在直线l：x＋y－9=0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0,3)　　　　　　　　B．(0,4)

C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)

C　[因为A(－m,0)，B(2＋m,0)(m＞0)，所以以AB为直径的圆的圆心为(1,0)，半径为1＋m，即方程为(x－1)2＋y2=(1＋m)2.

若直线l：x＋y－9=0上存在点P，使得PA⊥PB，

则直线l与圆有公共点．

∴≤1＋m，解得m≥3.]

2．(2019·达州联考)若圆(x－3)2＋(y＋5)2=r2有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　)

A．(4,6) B．(4,6]

C．[4,6) D．[4,6]

A　[由圆的标准方程得圆心坐标(3，－5)，

则圆心(3，－5)到直线4x－3y=2的距离d===5.

若圆(x－3)2＋(y＋5)2=r2有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则满足d－1＜r＜d＋1，即4＜r＜6，故选A．]

3．若直线xsin θ＋ycos θ=1与圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋=0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．

－　[圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋=0化为标准方程得(x－1)2＋(y－cos θ)2=，圆心为(1，cos θ)，半径为，由题意得，圆心到直线的距离d==，所以|sin θ－sin2θ|=.因为θ为锐角，所以0＜sin2θ＜sin θ＜1，sin2θ－sin θ＋=0，解得sin θ=，故cos θ=，所以直线xsin θ＋ycos θ=1的斜率k=－=－=－.]

4．(2018·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x=0及点A(－1，0)，B(1,2)．

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|=|AB|，求直线l的方程；

(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

[解]　(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2=4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为=1.设直线l的方程为x－y＋m=0，则圆心C到直线l的距离为d==.因为|MN|=|AB|==2，而|CM|2=d2＋2，所以4=＋2，解得m=0或m=－4，故直线l的方程为x－y=0或x－y－4=0.

(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2=4，|PA|2＋|PB|2=(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2=12，化简得x2＋y2－2y－3=0，即x2＋(y－1)2=4.因为|2－2|＜＜2＋2，所以圆(x－2)2＋y2=4与圆x2＋(y－1)2=4相交，所以存在点P，使|PA|2＋|PB|2=12，点P的个数为2.